Question

第11屆哈爾濱冰雪大世界以“冰雪建筑華章，歡樂相約世界”為主題，于2009年12月24日正式開園．在建園期間，甲、乙、丙三個工作隊負責從冰凍的松花江中采出尺寸相同的冰塊．在冰景制作過程中，需要對冰塊進行雕刻，有時冰塊會碎裂，假設(shè)冰塊碎裂后整塊冰塊就不能使用，定義：冰塊利用率=

使用的冰塊數(shù)

所采冰塊總數(shù)

，假設(shè)甲、乙丙工作隊所采冰塊分別占采冰總量的25%、35%、40%，各隊采出的冰塊利用率分別為0.8，0.6，0.75．
（1）在采出的冰塊中有放回地抽取三塊，其中由甲工作隊采出的冰塊數(shù)記為ξ，求ξ的分布列及其數(shù)學期望；
（2）在采出的冰塊中任取一塊，求它被利用的概率．

Answer 1

分析：（1）任取一塊冰是由甲工作采出的冰塊的概率為

1

4

，采出的冰塊中有放回地抽取，故可看作獨立重復試驗，其分布份額和二項分布．
（2）“采出的冰塊中任取一塊，它被利用”可分成三個互斥事件的并事件：甲隊所采并被利用、乙隊所采并被利用、丙隊所采并被利用，分別利用條件概率公式求概率，再取和即可．

解答：解：（1）任取一塊冰是由甲工作采出的冰塊的概率為

1

4

依題意ξ=0，1，2，3，且ξ～B(3，

1

4

)（1分）
P(ξ=k)=

C

k 3

×(

1

4

)k×(

3

4

)3-k(k=0，1，2，3)
P(ξ=0)=

27

64

，P(ξ=1)=

27

64

P(ξ=2)=

9

64

，P(ξ=3)=

1

64

∴ξ的分布列為
（5分）
∴Eξ=3×

1

4

=

3

4

（6分）
（2）用A₁表示事件“冰塊是由甲工作隊采出的”；
A₂表示事件“冰塊是由乙工作隊采出的”；
A₃表示事件“冰塊是由丙工作隊采出的”，
用B表示事件“采出的冰塊能被利用”，（8分）
則P（A₁）=0.25，P（A₂）=0.35，P（A₃）=0.40，
P（B|A₁）=0.8，P（B|A₂）=0.6，P（B|A₃）=0.75，（10分）
P（B）=P（BA₁）+P（BA₂）+P（BA₃）
=P（A₁）P（B|A₁）+P（A₂）P（B|A₂）+P（A₃）P（B|A₃）
=0.25×0.8+0.35×0.6+0.4×0.75
=0.71
答：采出的冰塊能被利用的概率是0.71．（12分）

點評：本題考查二項分布的分布列、期望、及條件概率、互斥事件的概率等知識，同時考查抽象概括能力和運用所學知識解決問題的能力．