Question

14．設(shè)f（x）=x²+2cosx，x∈R，且f（α）＞f（β），則下列結(jié)論中成立的是（　　）

• A． α＞β
• B． α²＜β²
• C． α＜β
• D． α²＞β²

Answer 1

分析 由f（x）=x²+2cosx求導(dǎo)可得f′（x）=2x-2sinx，二階求導(dǎo)可得f″（x）=2-2cosx≥0，從而可判斷f′（x）=2x-2sinx在R上單調(diào)遞增，從而可判斷函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減；在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
結(jié)合f（x）為偶函數(shù)可化f（α）＞f（β）為f（|α|）＞f（|β|）從而可得|α|＞|β|，從而可得α²＞β²．

解答 解：∵f（x）=x²+2cosx，
∴f′（x）=2x-2sinx，
∴f″（x）=2-2cosx≥0，
∴f′（x）=2x-2sinx在R上單調(diào)遞增，
又∵f′（0）=0，
∴當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
又∵f（x）為偶函數(shù)，f（α）＞f（β），
∴f（|α|）＞f（|β|），
∴|α|＞|β|，
∴α²＞β²；
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題．