Question

6．如圖，四棱錐P-ABCD中，△PAB是正三角形，四邊形ABCD是矩形，且面PAB⊥面ABCD，PA=1，PC=2．
（Ⅰ） 若點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，求證：PA∥面BDE；
（Ⅱ） 若點(diǎn)F在線段PA上，且$PF=\frac{1}{3}PA$，求三棱錐B-AFD的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證PA∥面BDE，可在平面BDE中找到一條直線與PA平行，則連接AC，設(shè)AC∩BD=O，再連結(jié)OE，可得
EO∥PA，由此結(jié)合線面平行的判定得答案；
（Ⅱ）由△PAB是正三角形，可取AB的中點(diǎn)M，證得PM⊥面ABCD，作FN∥PM交AB于點(diǎn)N，可得FN⊥面ABCD，并同時(shí)求出FN，然后求出三角形ABD的面積，把三棱錐B-AFD的體積轉(zhuǎn)化為F-ABD的體積，代入棱錐的體積公式得答案．

解答 （Ⅰ）證明：如圖，
連接AC，設(shè)AC∩BD=O，
∵點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，∴EO∥PA，
又EO?面BDE，PA?面BDE，∴PA∥面BDE；
（Ⅱ）解：∵PA=PB=AB=1，取AB的中點(diǎn)M．
∴PM⊥AB，且$PM=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵面PAB⊥面ABCD，面PAB∩面ABCD=AB，∴PM⊥面ABCD，
作FN∥PM交AB于點(diǎn)N，∴FN⊥面ABCD．
∵$PF=\frac{1}{3}PA$，∴$FN=\frac{2}{3}PM=\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∵四邊形ABCD是矩形，∴BC⊥面PAB，則△PBC為直角三角形，
又PC=2，可得BC=$\sqrt{3}$．
∴${V}_{B-AFD}={V}_{F-ABD}=\frac{1}{3}{S}_{ABD}•FN$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{1}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力，是中檔題．