Question

某商品一年內(nèi)出廠價(jià)格在6元的基礎(chǔ)上按月份隨正弦曲線波動(dòng)，已知3月份達(dá)到最高價(jià)格8元，7月份價(jià)格最低為4元．該商品在商店內(nèi)的銷售價(jià)格在8元基礎(chǔ)上按月份隨正弦曲線波動(dòng)，5月份銷售價(jià)格最高為10元，9月份銷售價(jià)最低為6元．
（1）試分別建立出廠價(jià)格、銷售價(jià)格的模型，并分別求出函數(shù)解析式；
（2）假設(shè)商店每月購(gòu)進(jìn)這種商品m件，且當(dāng)月銷完，試寫出該商品的月利潤(rùn)函數(shù)；
（3）求該商店月利潤(rùn)的最大值．（定義運(yùn)算sinα+cosα=

2

sin(α+

π

4

)．

Answer 1

分析：（1）分別設(shè)出出廠價(jià)波動(dòng)函數(shù)和售價(jià)波動(dòng)函數(shù)，利用最高和最低價(jià)分別振幅A和B，根據(jù)月份求得周期進(jìn)而求得ω₁和ω₂，根據(jù)最大值求得φ₁和φ₂；
（2）由（1）中出廠價(jià)格及銷售價(jià)格，利用y=y₂-y₁，求得每件盈利的表達(dá)式．
（3）利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求出利潤(rùn)函數(shù)的最大值．

解答：解：（1）設(shè)出廠價(jià)格函數(shù)為 f（x）=A₁sin（ω₁x+φ₁）+k₁，x∈[0，12]
銷售價(jià)格函數(shù)為g（x）=A₂sin（ω₂x+φ₂）+k₂，x∈[0，12}
由題設(shè)，A₁=

8-4

2

=2，k₁=6，ω₁=

2π

4×2

=

π

4

，
A₂=

10-6

2

=2，k₂=8，ω₂=

2π

4×2

=

π

4

，
將（3，8）代入f（x）可得 2sin（

π

4

×3+φ₁）+6=8 得φ₁=-

π

4

+2kπ，k∈Z
將（5，10）代入g（x）可得 2sin（

π

4

×5+φ₂）+8=10 得φ₂=-

3π

4

+2kπ，k∈Z
故出廠價(jià)格函數(shù)為f（x）=2sin（

π

4

x-

π

4

）+6，x∈[0，12}
銷售價(jià)格函數(shù)為g（x）=2sin（

π

4

x-

3π

4

）+8，x∈[0，12}
（2）設(shè)盈利函數(shù)為H（x），
則H（x）=[g（x）-f（x）]×m=2m[sin（

π

4

x-

3π

4

-）-sin（

π

4

x-

π

4

）+1]，x∈[0，12}
（3）H（x）=2m[sin（

π

4

x-

3π

4

-）-sin（

π

4

x-

π

4

）+1]=2m[-cos（

π

4

x-

π

4

-）-sin（

π

4

x-

π

4

）+1]
=2m-2

2

msin(

π

4

x)，
∴當(dāng)sin（

π

4

x）=-1時(shí)，H（x）取得最大值，最大值為2m+2

2

m．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了在實(shí)際問題中建立三角函數(shù)的模型的問題，函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，三角函數(shù)的值域，考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)來(lái)解決問題．綜合性較強(qiáng)，考查學(xué)生的計(jì)算能力．