Question

某商品一年內(nèi)出廠價(jià)格在6元的基礎(chǔ)上按月份隨正弦曲線波動(dòng)，已知3月份達(dá)到最高價(jià)格8元，7月份價(jià)格最低為4元，該商品在商店內(nèi)的銷售價(jià)格在8元基礎(chǔ)上按月份隨正弦曲線波動(dòng)，5月份銷售價(jià)格最高為10元，9月份銷售價(jià)最低為6元，假設(shè)商店每月購(gòu)進(jìn)這種商品m件，且當(dāng)月銷完，你估計(jì)哪個(gè)月份盈利最大？

Answer 1

分析：分別設(shè)出出廠價(jià)波動(dòng)函數(shù)和售價(jià)波動(dòng)函數(shù)，利用最高和最低價(jià)分別振幅A和B，根據(jù)月份求得周期進(jìn)而求得ω₁和ω₂，根據(jù)最大值求得φ₁和φ₂，利用y=y₂-y₁，求得每件盈利的表達(dá)式，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求得y取最大值時(shí)x的值．

解答：解：設(shè)出廠價(jià)波動(dòng)函數(shù)為y₁=6+Asin（ω₁x+φ₁）
根據(jù)最高價(jià)格和最低價(jià)格可知A=

2+2

2

=2  T₁=8，ω₁=

π

4

，

3π

4

+φ₁=

π

2

，φ₁=-

π

4

 
∴y₁=6+2sin（

π

4

x-

π

4

）
設(shè)銷售價(jià)波動(dòng)函數(shù)為y₂=8+Bsin（ω₂x+φ₂）
易知B=2，T₂=8，ω₂=

π

4

，

5

4

π+φ₂=

π

2

，φ₂=-

3π

4

∴y₂=8+2sin（ 

π

4

x-

3π

4

）
每件盈利  y=y₂-y₁=[8+2sin（

π

4

x-

3π

4

）][6+2sin（

π

4

x-

π

4

）]=2-2

2

sin

π

4

x
當(dāng)sin

π

4

x=-1  

π

4

x=2kπ-

π

2

，x=8k-2時(shí)y取最大值
當(dāng)k=1  即x=6時(shí)  y最大 
∴估計(jì)6月份盈利最大

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了在實(shí)際問(wèn)題中建立三角函數(shù)的模型的問(wèn)題．突顯了運(yùn)用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題．