如圖，以橢圓（a＞b＞0）的中心O為圓心，分別以a和b為半徑作大圓和小圓。過橢圓右焦點(diǎn)F（c，0）（c＞b）作垂直于x軸的直線交大圓于第一象限內(nèi)的點(diǎn)A。連結(jié)OA交小圓于點(diǎn)B，設(shè)直線BF是小圓的切線，
（1）證明c2=ab，并求直線BF與y軸的交點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線BF交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，證明。

（1）證明：由題設(shè)條件知，，故，
即，因此； ①
解：在中，，
于是，直線OA的斜率，
設(shè)直線BF的斜率為k，則，
這時(shí)，直線BF的方程為，
令x=0，則，
所以直線BF與y軸的交點(diǎn)為M（0，a）；
（2）證明：由（1），得直線BF的方程為y=kx+a，且，②
由已知，設(shè)，
則它們的坐標(biāo)滿足方程組， ③
由方程組③消去y，并整理得，④
由式①、②和④，，
由方程組③消去x，并整理得，⑤
由式②和⑤，；
綜上，得到，
注意到，
得
。
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，以橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a＞b＞0)的中心O為圓心，分別以a和b為半徑作大圓和小圓．過橢圓右焦點(diǎn)F（c，0）（c＞b）作垂直于x軸的直線交大圓于第一象限內(nèi)的點(diǎn)A．連接OA交小圓于點(diǎn)B．設(shè)直線BF是小圓的切線．
（1）求證c2=ab，并求直線BF與y軸的交點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線BF交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，求證
OP
•
OQ
=
1
2
b2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，兩個(gè)工廠A，B（視為兩個(gè)點(diǎn)）相距2km，現(xiàn)要在以A，B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4km的橢圓上某一點(diǎn)P處建一幢辦公樓．據(jù)測(cè)算此辦公樓受工廠A的“噪音影響度”與距離AP成反比，比例系數(shù)是1；辦公樓受工廠B的“噪音影響度”與距離BP也成反比，比例系數(shù)是4．辦公樓受A，B兩廠的“總噪音影響度”y是受A，B兩廠“噪音影響度”的和，設(shè)AP=xkm．
（I）求“總噪音影響度”y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（II）當(dāng)AP為多少時(shí)，“總噪音影響度”最��？（結(jié)果保留一位小數(shù)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（06年天津卷理）（14分）

如圖，以橢圓的中心O為圓心，分別以和為半徑作大圓和小圓。過橢圓右焦點(diǎn)作垂直于軸的直線交大圓于第一象限內(nèi)的點(diǎn)A。連結(jié)OA交小圓于點(diǎn)B。設(shè)直線BF是小圓的切線。

  

（I）證明并求直線BF與同的交點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（II）設(shè)直線BF交橢圓P、Q兩點(diǎn)，證明

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

(22)如圖，以橢圓(a＞b＞0)的中心O為圓心，分別以a和b為半徑作大圓和小圓．過橢圓右焦點(diǎn)F(c，0)(c＞b)作垂直于x軸的直線交大圓于第一象限內(nèi)的點(diǎn)A.連結(jié)OA交小圓于點(diǎn)B．設(shè)直線BF是小圓的切線．

(Ⅰ)證明c2=ab，并求直線BF與y軸的交點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(Ⅱ)設(shè)直線BF交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，證明·=b2．

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