如圖，四棱錐P-ABCD的底面為矩形，PA是四棱錐的高，PB與DC所成角為45°，F(xiàn)是PB的中點，E是BC上的動點．
（Ⅰ）證明：PE⊥AF；
（Ⅱ）若BC=2BE=2
3
AB，求直線AP與平面PDE所成角的大�。�
分析：（Ⅰ）建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點的坐標(biāo)，以及向量PE，AF的坐標(biāo)，得到其數(shù)量積為0即可證明結(jié)論．
（Ⅱ）先根據(jù)條件求出D的坐標(biāo)以及
PD
，
PE
的坐標(biāo)，進而求出平面PDE的法向量的坐標(biāo)，再代入向量的夾角計算公式即可得到答案．
解答：解：（Ⅰ） 建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．設(shè)AP=AB=2，BE=a
則A（0，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），F(xiàn)（0，1，1），E（a，2，0）
于是，
PE
=(a，2，-2)，
AF
=(0，1，1)，
則
PE
•
AF
=0，
所以AF⊥PE．…（6分）
（Ⅱ）若BC=2BE=2
3
AB，則D(4
3
，0，0)，
PD
=(4
3
，0，-2)，
PE
=（2
3
，2，-2），
設(shè)平面PDE的法向量為
n
=（x，y，z），
由
n
•
PD
=0
n
•
PE
=0
，得：
4
3
x-2z=0
2
3
x+2y-2z=0
，令x=1，則z=2
3
，y=
3
，
于是
n
=(1，
3
，2
3
)，而
AP
=(0，0，2)
設(shè)直線AP與平面PDE所成角為θ，
則sinθ=
|
n
•
AP
|
|
n
|•|
AP
|
=
3
2
．
∴直線AP與平面PDE所成角為60°．
點評：本題主要考察用空間向量求直線與平面的夾角以及用向量語言表述線線的垂直．在利用向量語言表述線線的垂直關(guān)系時，只要得到數(shù)量積為0即可．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中點．求證：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為AP的中點．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）求三棱錐P-MBD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
2
，且側(cè)面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求證：PD⊥AC；
（2）在棱PA上是否存在一點E，使得二面角E-BD-A的大小為45°，若存在，試求
AE
AP
的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點F是PB中點．
（Ⅰ）若E為BC中點，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=2
2
，設(shè)PC與AD的夾角為θ．
（1）求點A到平面PBD的距離；
（2）求θ的大��；當(dāng)平面ABCD內(nèi)有一個動點Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ，求動點Q的軌跡方程．

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