Question

已知等比數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且2a₁+3a₂=1，a₃²=9a₂a₆．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，，求使恒成立，求實(shí)數(shù)k范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用已知關(guān)系式，求出數(shù)列的公比，然后求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）通過(guò)b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，求出通項(xiàng)公式b_n，然后求出倒數(shù)，通過(guò)裂項(xiàng)法直接求解，利用恒成立，求出數(shù)列的最大項(xiàng)，然后求出k的范圍．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，由a₃²=9a₂a₆得a₃²=9a₄²所以q²=．
由條件可知q＞0，故q=．                  （3分）
由2a₁+3a₂=1得2a₁+3a₁q=1，所以a₁=．（6分）
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)式為a_n=．                 （7分）
（Ⅱ）b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n
=-（1+2+3+…+n）
=           （9分）
故==       （10分）
==．（11分）
所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為．化簡(jiǎn)得對(duì)任意n∈N^*恒成立
設(shè)，則=．
當(dāng)n≥5，C_n+1≤C_n，{C_n}為單調(diào)遞減數(shù)列，
當(dāng)1≤n＜5，C_n+1＞C_n，{C_n}為單調(diào)遞增數(shù)列
，所以，n=5時(shí)，C_n取得最大值，
所以，要使對(duì)任意n∈N^*恒成立，…14分
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，裂項(xiàng)法數(shù)列求和，恒成立問(wèn)題的求解，考查數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題，考查邏輯推理能力、計(jì)算能力．