【題目】已知函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)討論單調(diào)性;
(Ⅱ)當(dāng)時,設(shè)函數(shù)存在兩個零點,求證:.
【答案】(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ)證明見解析
【解析】
(Ⅰ),分和兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)解法一:由題意可知,兩式相減可得,再利用分析法轉(zhuǎn)化為證明要證,只需證,再通過變形,構(gòu)造,證明只需證即可,,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)證明.
解法二:由題意可知,再換元令,即,兩式相減得,要證,即只需證,即證,再通過變形,構(gòu)造得到,,,利用導(dǎo)數(shù)證明.
解:(1),
當(dāng)時,,在上單調(diào)遞增;
當(dāng)時,令得,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;
(Ⅱ)解法一:由題意知,由得,
兩式相減得,因為,故,
要證,只需證,
兩邊同除以得,
令,故只需證即可.
令,,
令,
當(dāng)時,,故在上單調(diào)遞減,
故,故在上單調(diào)遞增,故,故原命題得證.
【解法二】
由題意知,由得,
令,即,兩式相減得,
要證,即只需證,即證,即,即,
令,只需證即可.
令,,
當(dāng)時,,故在上單調(diào)遞增,故,因此原不等式成立.
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【題目】已知正方體的棱長為,為的中點,下列說法中正確的是( )
A.與所成的角大于
B.點到平面的距離為
C.三棱錐的外接球的表面積為
D.直線與平面所成的角為
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【題目】已知雙曲線,經(jīng)過點的直線與該雙曲線交于兩點.
(1)若與軸垂直,且,求的值;
(2)若,且的橫坐標(biāo)之和為,證明:.
(3)設(shè)直線與軸交于點,求證:為定值.
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【題目】如圖所示的四棱錐中,底面為矩形,平面,,M,N分別是,的中點.
(1)求證:平面;
(2)若直線與平面所成角的余弦值為,求二面角的余弦值.
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【題目】已知圓,動圓與圓外切,且與直線相切,該動圓圓心的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程
(2)過點的直線與拋物線相交于兩點,拋物線在點A的切線與交于點N,求面積的最小值.
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【題目】互聯(lián)網(wǎng)正在改變著人們的生活方式,在日常消費中手機(jī)支付正逐漸取代現(xiàn)金支付成為人們首選的支付方式. 某學(xué)生在暑期社會活動中針對人們生活中的支付方式進(jìn)行了調(diào)查研究. 采用調(diào)查問卷的方式對100名18歲以上的成年人進(jìn)行了研究,發(fā)現(xiàn)共有60人以手機(jī)支付作為自己的首選支付方式,在這60人中,45歲以下的占,在仍以現(xiàn)金作為首選支付方式的人中,45歲及以上的有30人.
(1)從以現(xiàn)金作為首選支付方式的40人中,任意選取3人,求這3人至少有1人的年齡低于45歲的概率;
(2)某商家為了鼓勵人們使用手機(jī)支付,做出以下促銷活動:凡是用手機(jī)支付的消費者,商品一律打八折. 已知某商品原價50元,以上述調(diào)查的支付方式的頻率作為消費者購買該商品的支付方式的概率,設(shè)銷售每件商品的消費者的支付方式都是相互獨立的,求銷售10件該商品的銷售額的數(shù)學(xué)期望.
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【題目】矩形中,,,點,分別是,上的動點,將矩形沿所在的直線進(jìn)行隨意翻折,在翻折過程中直線與直線所成角的范圍(包含初始狀態(tài))為( )
A.B.C.D.
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【題目】為評估設(shè)備生產(chǎn)某種零件的性能,從該設(shè)備生產(chǎn)零件的流水線上隨機(jī)抽取100件零件作為樣本,測量其直徑后,整理得到下表:
直徑/ | 78 | 79 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 93 | 合計 |
件數(shù) | 1 | 1 | 3 | 5 | 6 | 19 | 33 | 18 | 4 | 4 | 2 | 1 | 2 | 1 | 100 |
經(jīng)計算,樣本的平均值,標(biāo)準(zhǔn)差,以頻率值作為概率的估計值.
(1)為評判一臺設(shè)備的性能,從該設(shè)備加工的零件中任意抽取一件,記其直徑為,并根據(jù)以下不等式進(jìn)行評判(表示相應(yīng)事件的頻率):
①;②;③,評判規(guī)則為:若同時滿足上述三個不等式,則設(shè)備等級為甲;僅滿足其中兩個,則等級為乙;若僅滿足其中一個,則等級為丙;若全部不滿足,則等級為丁.試判斷設(shè)備的性能等級.
(2)將直徑小于等于的零件或直徑大于等于的零件認(rèn)定為是“次品”,將直徑小于等于的零件或直徑大于等于的零件認(rèn)定為是“突變品”,從樣本的“次品”中隨意抽取2件零件,求“突變品”個數(shù)的數(shù)學(xué)期望.
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【題目】已知圓,動圓與圓外切,且與直線相切,該動圓圓心的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程
(2)過點的直線與拋物線相交于兩點,拋物線在點A的切線與交于點N,求面積的最小值.
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