Question

設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和是S_n，且對n∈N^*，都有2S_n=a_n²+a_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）對任意給定的不小于2的正整數(shù)n，數(shù)列{b_k}滿足：b₁=n，

bk+1

bk

=

an-k

k+1

（k=1，2，…，n-1），求b₁+b₂+…+b_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系利用構(gòu)造方程組，利用作差法即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)累積法求出數(shù)列{b_k}的通項(xiàng)公式，即可求出數(shù)列的前n項(xiàng)和．

解答： 解：（1）∵2S_n=a_n²+a_n．
∴當(dāng)n≥2時，2S_n-1=a_n-1²+a_n-1．
兩式相減得2S_n-2S_n-1=a_n²+a_n-a_n-1²-a_n-1．
即2a_n=a_n²+a_n-a_n-1²-a_n-1．
即a_n+a_n-1=a_n²-a_n-1²=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）．
∵正項(xiàng)數(shù)列{a_n}，
∴a_n-a_n-1=1，
即數(shù)列{a_n}是公差d=1的等差數(shù)列，
當(dāng)n=1時，2S₁=a₁²+a₁=2a₁，
即a₁²=a₁，
解得a₁=1，
故a_n=1+n-1=n．

（2）∵a_n=n，∴

bk+1

bk

=

an-k

k+1

=

n-k

k+1

，
則b_k=

bk

bk-1

•

bk-1

bk-2

…

b2

b1

•b1=

(n-k+1)(n-k+2)…(n-1)

k•(k-1)(k-2)…2•1

×n=

C

k n

，
則b₁+b₂+…+b_n=

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n n

=2ⁿ-1．

點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列求和的計(jì)算，根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，利用作差法和累積法是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．