Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）= ．
（1）當(dāng)m=4時(shí)，求函數(shù)f（x）的定義域M；
（2）當(dāng)a，b∈RM時(shí)，證明：2|a+b|＜|4+ab|．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)m=4時(shí)，由|x+1|+|x﹣1|≥4，

等價(jià)于 或 或 ，

解得x≤﹣2或x≥2或x∈．

則不等式的解集為M={x|x≤﹣2或x≥2}

（2）解：證明：當(dāng)a，b∈CRM時(shí)，即﹣2＜a，b＜2，

所以4（a+b）2﹣（4+ab）2=4（a2+2ab+b2）﹣（16+8ab+a2b2）

=4a2+4b2﹣16﹣a2b2=（a2﹣4）（4﹣b2）＜0，所以4（a+b）2＜（4+ab）2，

即2|a+b|＜|4+ab|

【解析】（1）由題意和二次根式的被開方數(shù)非負(fù)，可得|x+1|+|x﹣1|≥4，運(yùn)用絕對(duì)值的意義和對(duì)x討論，解不等式即可得到所求定義域；（2）可得﹣2＜a，b＜2，要證2|a+b|＜|4+ab|，可證4（a+b）2＜（4+ab）2 ， 作差4（a+b）2﹣（4+ab）2 ， 運(yùn)用平方差和因式分解，即可得證．
【考點(diǎn)精析】利用函數(shù)的定義域及其求法對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知求函數(shù)的定義域時(shí)，一般遵循以下原則：①是整式時(shí)，定義域是全體實(shí)數(shù);②是分式函數(shù)時(shí)，定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù);③是偶次根式時(shí)，定義域是使被開方式為非負(fù)值時(shí)的實(shí)數(shù)的集合;④對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對(duì)數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時(shí)，底數(shù)須大于零且不等于1,零（負(fù)）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零．