Question

設(shè)A₁、A₂是橢圓

x2

9

+

y2

4

=1=1的長(zhǎng)軸兩個(gè)端點(diǎn)，P₁、P₂是垂直于A₁A₂的弦的端點(diǎn)，則直線A₁P₁與A₂P₂交點(diǎn)的軌跡方程為（　　）

• A、

  x2

  9

  +

  y2

  4

  =1
• B、

  y2

  9

  +

  x2

  4

  =1
• C、

  x2

  9

  -

  y2

  4

  =1
• D、

  y2

  9

  -

  x2

  4

  =1

Answer 1

分析：由已知中A₁、A₂是橢圓

x2

9

+

y2

4

=1=1的長(zhǎng)軸兩個(gè)端點(diǎn)，P₁、P₂是垂直于A₁A₂的弦的端點(diǎn)，則P₁、P₂的橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)相反，故設(shè)p₁（x，y），則p₂（x，-y），由橢圓的參數(shù)方程，分別求出A₁P₁的方程和A₂P₂的方程（含參數(shù)θ），聯(lián)立方程后，消去參數(shù)θ即可得到滿足條件的曲線方程．

解答：解：設(shè)p₁（x，y），則p₂（x，-y）
p₁，p₂在橢圓

x2

9

+

y2

4

=1上，
則x=3sinθ，y=2cosθ
則A₁P₁的方程為

-3-x

0-y

=

3sinθ+3

2cosθ

①
A₂P₂的方程為

3-x

0-y

=

-3sinθ+3

2cosθ

②
Q（x，y）為A₁P₁，A₂P₂的交點(diǎn)．聯(lián)立方程①，②得x=cscθ，y=2ctgθ
消去θ可得

x2

9

-

y2

4

=1
故選C

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是軌跡方程，橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，其中根據(jù)橢圓的參數(shù)方程，求出A₁P₁的方程和A₂P₂的方程，進(jìn)而求出兩條直線交點(diǎn)的坐標(biāo)，是解答本題的關(guān)鍵．