試題分析:若
,求函數
的定義域和極值,把
代入得函數
,故可求得函數
的定義域,求它的極值,對函數求導,求出導數等于零點,及兩邊導數的符號,從而確定極值點;(2)當
時,試確定函數
的零點個數,即求函數
的零點個數,首先確定定義域,在定義域內,考慮函數的單調性,由單調性與根的存在性定理,來判斷零點的個數.
(1)函數
的定義域為
,且
. 1分
. 3分
令
,得
,
當
變化時,
和
的變化情況如下:
4分
故
的單調減區(qū)間為
,
;單調增區(qū)間為
.
所以當
時,函數
有極小值
. 5分
(2)結論:函數
存在兩個零點.
證明過程如下:
由題意,函數
,
因為
,
所以函數
的定義域為
. 6分
求導,得
, 7分
令
,得
,
,
當
變化時,
和
的變化情況如下:
故函數
的單調減區(qū)間為
;單調增區(qū)間為
,
.
當
時,函數
有極大值
;當
時,函數
有極小值
. 9分
因為函數
在
單調遞增,且
,
所以對于任意
,
. 10分
因為函數
在
單調遞減,且
,
所以對于任意
,
. 11分
因為函數
在
單調遞增,且
,
,
所以函數
在
上僅存在一個
,使得函數
, 12分
故函數
存在兩個零點(即
和
). 13分