Question

已知函數(shù)f（x）=2x²-2ax+b，f（-1）=-8．對(duì)?x∈R，都有f（x）≥f（-1）成立；記集合A={x|f（x）＞0}，B={x||x-t|≤1}．
（I）當(dāng)t=1時(shí)，求（C_RA）∪B．
（II）設(shè)命題P：A∩B≠空集，若￢P為真命題，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：本題考查的是集合運(yùn)算和命題的真假判斷與應(yīng)用的綜合類問題．在解答時(shí)：
（I）首先根據(jù)條件利用二次函數(shù)最值得性質(zhì)求的二次函數(shù)的解析式，進(jìn)而將集合A具體化，又因?yàn)閠=1所以可以將集合B具體化，從而問題即可獲得解答；
（Ⅱ）首先要將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即命題P：A∩B≠空集為假命題，再結(jié)合集合A、B的特征利用數(shù)軸即可獲得必要的條件，解不等式組即可獲得問題的解答．

解答：解：由題意（-1，-8）為二次函數(shù)的頂點(diǎn)，
∴f（x）=2（x+1）²-8=2（x²+2x-3）．
A={x|x＜-3或x＞1}．
（Ⅰ）B={x||x-1|≤1}={x|0≤x≤2}．
∴（C_RA）∪B={x|-3≤x≤1}∪{x|0≤x≤2}={x|-3≤x≤2}．
∴（C_RA）∪B={x|-3≤x≤2}．
（Ⅱ）∵B={x|t-1≤x≤t+1}．且由題意知：命題P：A∩B≠空集為假命題，
所以必有：

t-1≥-3 t+1≤1

?

t≥-2 t≤0

，
∴實(shí)數(shù)t的取值范圍是[-2，0]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是集合運(yùn)算和命題的真假判斷與應(yīng)用的綜合類問題．在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了二次函數(shù)的知識(shí)、集合運(yùn)算的知識(shí)以及命題的知識(shí)．同時(shí)問題轉(zhuǎn)化的思想也在此題中得到了很好的體現(xiàn)．值得同學(xué)們體會(huì)和反思．