(2013•上海)已知函數(shù)f(x)=2-|x|,無窮數(shù)列{an}滿足an+1=f(an),n∈N*
(1)若a1=0,求a2,a3,a4;
(2)若a1>0,且a1,a2,a3成等比數(shù)列,求a1的值
(3)是否存在a1,使得a1,a2,…,an,…成等差數(shù)列?若存在,求出所有這樣的a1,若不存在,說明理由.
分析:(1)由題意代入式子計算即可;
(2)把a2,a3表示為a1的式子,通過對a1的范圍進行討論去掉絕對值符號,根據a1,a2,a3成等比數(shù)列可得關于a1的方程,解出即可;
(3)假設這樣的等差數(shù)列存在,則a1,a2,a3成等差數(shù)列,即2a2=a1+a3,亦即2-a1+|2-|a1||=2|a1|(*),分情況①當a1>2時②當0<a1≤2時③當a1≤0時討論,由(*)式可求得a1進行判斷;③當a1≤0時,由公差d>2可得矛盾;
解答:解:(1)由題意,代入計算得a2=2,a3=0,a4=2;
(2)a2=2-|a1|=2-a1,a3=2-|a2|=2-|2-a1|,
①當0<a1≤2時,a3=2-(2-a1)=a1,
所以a12=(2-a1)2,得a1=1;
②當a1>2時,a3=2-(a1-2)=4-a1,
所以a1(4-a1)=(2-a1)2,得a1=2-
2
(舍去)或a1=2+
2

綜合①②得a1=1或a1=2+
2

(3)假設這樣的等差數(shù)列存在,那么a2=2-|a1|,
a3=2-|2-|a1||,由2a2=a1+a3得2-a1+|2-|a1||=2|a1|(*),
以下分情況討論:
①當a1>2時,由(*)得a1=0,與a1>2矛盾;
②當0<a1≤2時,由(*)得a1=1,從而an=1(n=1,2,…),
所以{an}是一個等差數(shù)列;
③當a1≤0時,則公差d=a2-a1=(a1+2)-a1=2>0,
因此存在m≥2使得am=a1+2(m-1)>2,
此時d=am+1-am=2-|am|-am<0,矛盾.
綜合①②③可知,當且僅當a1=1時,a1,a2,…,an,…成等差數(shù)列.
點評:本題考查數(shù)列的函數(shù)特性、等差關系等比關系的確定,考查分類討論思想,考查學生邏輯推理能力、分析解決問題的能力,綜合性強,難度較大.
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(2013•上海)已知圓柱Ω的母線長為l,底面半徑為r,O是上底面圓心,A,B是下底面圓周上兩個不同的點,BC是母線,如圖,若直線OA與BC所成角的大小為
π
6
,則
l
r
=
3
3

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(2013•上海)已知真命題:“函數(shù)y=f(x)的圖象關于點P(a,b)成中心對稱圖形”的充要條件為“函數(shù)y=f(x+a)-b 是奇函數(shù)”.
(1)將函數(shù)g(x)=x3-3x2的圖象向左平移1個單位,再向上平移2個單位,求此時圖象對應的函數(shù)解析式,并利用題設中的真命題求函數(shù)g(x)圖象對稱中心的坐標;
(2)求函數(shù)h(x)=log2
2x4-x
 圖象對稱中心的坐標;
(3)已知命題:“函數(shù) y=f(x)的圖象關于某直線成軸對稱圖象”的充要條件為“存在實數(shù)a和b,使得函數(shù)y=f(x+a)-b 是偶函數(shù)”.判斷該命題的真假.如果是真命題,請給予證明;如果是假命題,請說明理由,并類比題設的真命題對它進行修改,使之成為真命題(不必證明).

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(2013•上海)已知a,b,c∈R,“b2-4ac<0”是“函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象恒在x軸上方”的( 。

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(2013•上海)已知向量
a
=(1,k)
,
b
=(9,k-6)
.若
a
b
,則實數(shù) k=
-
3
4
-
3
4

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(2013•上海)已知拋物線C:y2=4x 的焦點為F.
(1)點A,P滿足
AP
=-2
FA
.當點A在拋物線C上運動時,求動點P的軌跡方程;
(2)在x軸上是否存在點Q,使得點Q關于直線y=2x的對稱點在拋物線C上?如果存在,求所有滿足條件的點Q的坐標;如果不存在,請說明理由.

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