Question

18．四棱錐P-ABCD中，CD∥AB，CD=2AB，E為PC中點(diǎn)，R為CD中點(diǎn)．
（1）求證：平面BER∥面PAD；
（2）若BE=AD=4，PA=4$\sqrt{3}$，求異面直線BE與DA所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）由已知得四邊形ABRD是平行四邊形，從而BR∥AD，由此能證明平面BER∥面PAD．
（2）由BR∥AD，且BR=AD=4，得∠EBR是異面直線BE與DA所成角（或所成角的補(bǔ)角），連結(jié)AC，交BR于點(diǎn)G，則G是AC中點(diǎn)，連結(jié)EG，由此利用余弦定理能求出異面直線BE與DA所成角的大�。�

解答 （1）證明：∵四棱錐P-ABCD中，CD∥AB，CD=2AB，E為PC中點(diǎn)，R為CD中點(diǎn)，
∴ER∥PD，AB$\underset{∥}{=}$DR，∴四邊形ABRD是平行四邊形，
∴BR∥AD，
∵ER∩BR=R，AD∩PD=D，AD?平面ADP，PD?平面ADP，BR?平面BRE，ER?平面BRE，
∴平面BER∥面PAD．
（2）解：∵四邊形ABRD是平行四邊形，
∴BR∥AD，且BR=AD=4，
∴∠EBR是異面直線BE與DA所成角（或所成角的補(bǔ)角），
連結(jié)AC，交BR于點(diǎn)G，則G是AC中點(diǎn)，連結(jié)EG，
則EG=$\frac{1}{2}PA=2\sqrt{3}$，BG=2，
在△BEG中，cos∠EBR=$\frac{{4}^{2}+4-12}{2×4×2}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠EBR的大小為60°，∴異面直線BE與DA所成角的大小為60．

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面平行的證明，考查異面直線所成角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．