Question

設c＞0．命題P：y=log_cx是減函數(shù)．命題Q：|x-1|-x+2c＞0對任意x∈R恒成立．若P或Q為真，P且Q為假，試求c的取值范圍．

Answer 1

考點：復合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及通過去絕對值即可求出命題P，Q下c的取值范圍．而根據(jù)P或Q為真，P且Q為假得P真Q假，或P假Q(mào)真，所以求出每種情況下c的取值范圍再求并集即可．

解答： 解：由命題P知0＜c＜1；
由命題Q知，對任意x∈R，c＞

x-|x-1|

2

恒成立；
∵

x-|x-1|

2

=

1 2 x≥1 x- 1 2 x＜1

；
x＜1時，x-

1

2

＜

1

2

；
∴

x-|x-1|

2

的最大值為

1

2

；
∴c＞

1

2

；
若P或Q為真，P且Q為假，則P，Q一真一假；
P真Q假時，0＜c＜1且0＜c≤

1

2

，∴0＜c≤

1

2

；
P假Q(mào)真時，c≥1且c＞

1

2

，∴c≥1；
∴c的取值范圍為(0，

1

2

]∪[1，+∞)．

點評：考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，處理含絕對值函數(shù)的方法：去絕對值，以及P或Q，P且Q真假和P，Q真假的關系．