Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}a{x^2}+3x+1，x≤0\\ ax-3，x＞0\end{array}\right.$在區(qū)間（-∞，2]上至少有2個零點，那么實數(shù)a的取值范圍是$（{0\;，\frac{9}{4}}]$．

Answer 1

分析 由f（x）=ax-3最多有1個零點知ax²+3x+1=0一定有解，從而分一次方程與二次方程討論解的個數(shù)，再結(jié)合ax-3=0求零點的個數(shù)即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}a{x^2}+3x+1，x≤0\\ ax-3，x＞0\end{array}\right.$在區(qū)間（-∞，2]上至少有2個零點，
且f（x）=ax-3最多有1個零點，
故ax²+3x+1=0一定有解，
若a=0，則f（x）=$\left\{\begin{array}{l}a{x^2}+3x+1，x≤0\\ ax-3，x＞0\end{array}\right.$僅有一個零點-$\frac{1}{3}$，故不成立；
故△=9-4a≥0，
故a≤$\frac{9}{4}$，
又∵x≤0時，f（x）=ax²+3x+1，且f（0）=1＞0，
故a＞0，
故當0＜a＜$\frac{9}{4}$時，f（x）=ax²+3x+1在（-∞，0]上有兩個零點，
當a=$\frac{9}{4}$時，f（x）=ax²+3x+1在（-∞，0]上有-個零點，
此時$\frac{9}{4}$x-3=0，解得，x=$\frac{4}{3}$；
綜上所述，
實數(shù)a的取值范圍是$（{0\;，\frac{9}{4}}]$，
故答案為：$（{0\;，\frac{9}{4}}]$．

點評 本題考查了分段函數(shù)及函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．