Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=x|x-a|+b
（1）求證：當(dāng)f（x）為奇函數(shù)時a²+b²=0
（2）設(shè)常數(shù)b＜2$\sqrt{2}$-3，且對任意x∈[0，1]，f（x）＜0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用奇函數(shù)的定義，即可證明a²+b²=0．
（2）分類討論：①當(dāng)x=0時a取任意實(shí)數(shù)不等式恒成立；②當(dāng)0＜x≤1時f（x）＜0恒成立，再轉(zhuǎn)化為x+$\frac{x}$＜a＜x-$\frac{x}$恒成立問題，利用函數(shù)g（x）=x+$\frac{x}$的最值即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）若f（x）為奇函數(shù)
則對任意的x∈R都有f（-x）+f（x）=0恒成立，
即-x|-x-a|+b+x|x-a|+b=0
令x=0，得b=0；令x=a，得a=0．∴a²+b²=0（6分）
（2）由b＜2$\sqrt{2}$-3＜0，當(dāng)x=0時a取任意實(shí)數(shù)不等式恒成立
當(dāng)0＜x≤1時f（x）＜0恒成立，也即x+$\frac{x}$＜a＜x-$\frac{x}$恒成立
令g（x）=x+$\frac{x}$在0＜x≤1上單調(diào)遞增，∴a＞g_max（x）=g（1）=1+b（10分）
令h（x）=x-$\frac{x}$，則h（x）在（0，$\sqrt{-b}$]上單調(diào)遞減，[$\sqrt{-b}$]，+∞）單調(diào)遞增
1°當(dāng)b＜-1時h（x）=x-$\frac{x}$在0＜x≤1上單調(diào)遞減
∴a＜h_min（x）=h（1）=1-b．∴1+b＜a＜1-b．（12分）
2°當(dāng)-1≤b＜2$\sqrt{2}$-3時，h（x）=x-$\frac{x}$≥2$\sqrt{-b}$]，
∴a＜h_min（x）=2$\sqrt{-b}$]，∴1+b＜a＜2$\sqrt{-b}$]．（14分）

點(diǎn)評 本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．