Question

12．已知P為橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$上任意一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)
（1）|PF₁|•|PF₂|的最大值；
（2）${\left|{P{F_1}}\right|^2}+{\left|{P{F_2}}\right|^2}$的最小值；
（3）求F₁PF₂的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓定義知|PF₁|+|PF₂|為定值2a，再利用均值定理求積|PF₁|•|PF₂|的最大值即可；
（2）利用配方法將|PF₁|²+|PF₂|²進(jìn)行配方，結(jié)合|PF₁|+|PF₂|為定值2a，再利用均值定理求|PF₁|²+|PF₂|²的最小值即可；
（3）利用余弦定理cosF₁PF₂=$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}}{2|P{F}_{1}|•|P{F}_{2}|}$，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）|PF₁|•|PF₂|≤$（\frac{|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|}{2}）^{2}$=a²=4，
當(dāng)且僅當(dāng)|PF₁|=|PF₂|時(shí)取等號(hào)，
∴|PF₁|•|PF₂|的最大值是4；
（2）|PF₁|²+|PF₂|²=$（{|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|）}^{2}$-2|PF₁|•|PF₂|
≥4a²-2•$（\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}}{2}）^{2}$
=2a²
=8，
當(dāng)且僅當(dāng)|PF₁|=|PF₂|時(shí)取等號(hào)，
∴|PF₁|²+|PF₂|²的最小值是8；
（3）∵橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，
∴|F₁F₂|=$2\sqrt{3}$，
∴cosF₁PF₂=$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}}{2|P{F}_{1}|•|P{F}_{2}|}$
≤$\frac{8-12}{2×4}$
=-$\frac{1}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)|PF₁|=|PF₂|時(shí)取等號(hào)，
又∵0°＜∠F₁PF₂＜180°
∴∠F₁PF₂=120°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的意義，橢圓定義的應(yīng)用，橢圓的幾何性質(zhì)，余弦定理，利用均值定理和函數(shù)求最值的方法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．