Question

14．如圖，已知拋物線C：y²=2px（p＞0），焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)G（p，0）作直線l交拋物線C于A，M兩點(diǎn)，設(shè)A（x₁，y₁），M（x₂，y₂）．
（Ⅰ）若y₁•y₂=-8，求拋物線C的方程；
（Ⅱ）若直線AF與x軸不垂直，直線AF交拋物線C于另一點(diǎn)B，直線BG交拋物線C于另一點(diǎn)N．求證：直線AB與直線MN斜率之比為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)直線AM的方程為x=my+p，代入y²=2px，利用y₁•y₂=-8，即可求拋物線C的方程；
（Ⅱ）求出y₃•y₄=-2p²，y₁•y₃=-p²，即可求出直線AB與直線MN斜率之比．

解答 （Ⅰ）解：設(shè)直線AM的方程為x=my+p，代入y²=2px得y²-2mpy-2p²=0，
∴y₁•y₂=-2p²=-8，
∴p=2，
∴拋物線C：y²=4x；
（Ⅱ）證明設(shè)B（x₃，y₃），N（x₄，y₄），
設(shè)直線NB：x=my+p，代入拋物線方程，可得，y²-2pmy-2p²=0，
則y₃•y₄=-2p²，同理可知y₁•y₂=-2p²，
y₁•y₃=-p²，
∴直線AB與直線MN斜率之比為$\frac{\frac{2p}{{y}_{1}+{y}_{3}}}{\frac{2p}{{y}_{2}+{y}_{4}}}$=$\frac{{y}_{2}+{y}_{4}}{{y}_{1}+{y}_{3}}$=$\frac{\frac{-2{p}^{2}}{{y}_{1}{y}_{3}}（{y}_{1}+{y}_{3}）}{{y}_{1}+{y}_{3}}$=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程與性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．