Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²+ln x-1．
（1）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]（e為自然對數(shù)的底）上的最大值和最小值；
（2）求證：在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f（x）的圖象在函數(shù)g（x）=

2

3

x³的圖象的下方；
（3）求證：[f′（x）]ⁿ-f′（xⁿ）≥2ⁿ-2 （n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x），在區(qū)間[1，e]上大于零得出函數(shù)為增函數(shù)，算出1和e的函數(shù)值即可得到函數(shù)的最值；
（2）設(shè)F（x）=f（x）-g（x）=

1

2

x²+lnx-1-

2

3

x³，求出其導(dǎo)函數(shù)討論當(dāng)x＞1時(shí)函數(shù)的增減性從而得到f（x）＜g（x）得證；
（3）當(dāng)n=1時(shí)顯然成立，當(dāng)n≥2時(shí)，利用基本不等式得證即可．

解答：解：（1）∵f′（x）=x+

1

x

，
當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，f′（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）在[1，e]上為增函數(shù)、
∴f（x）_max=f（e）=

1

2

e²，f（x）_min=f（1）=-

1

2

、
（2）證明：令F（x）=f（x）-g（x）=

1

2

x²+lnx-1-

2

3

x³，
則F′（x）=x+

1

x

-2x²=

x2+1-2x3

x

=

(1-x)(x+1+2x2)

x

∵當(dāng)x＞1，時(shí)F′（x）＜0，
∴函數(shù)F（x）在區(qū)間（1，+∞）上為減函數(shù)，
∴F（x）＜F（1）=

1

2

-1-

2

3

＜0，
即在（1，+∞）上，f（x）＜g（x）、
∴在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f（x）的圖象在函數(shù)g（x）=

2

3

x³的圖象的下方、
（3）證明：∵f′（x）=x+

1

x

，當(dāng)n=1時(shí)，不等式顯然成立
當(dāng)n≥2時(shí)，利用基本不等式得：
[f′（x）]ⁿ-f′（xⁿ）=（x+

1

x

）ⁿ-（xn+ 

1

xn

）≥2ⁿ-2（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)“=”成立）
∴當(dāng)n≥2時(shí)，不等式成立、
綜上所述得[f′（x）]ⁿ-f′（xⁿ）≥2ⁿ-2，（n∈N^*）

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值的能力，以及進(jìn)行不等式的證明的能力．