【題目】設(shè)橢圓E: +y2=1(a>1)的右焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,已知 ,其中O為原點(diǎn),e為橢圓的離心率.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)動(dòng)直線l過點(diǎn)N(﹣2,0),l與橢圓E交于P,Q兩點(diǎn),求△OPQ面積的最大值.

【答案】解:(Ⅰ)由橢圓E: +y2=1(a>1)的右焦點(diǎn)為F,b=1,由橢圓的幾何性質(zhì)可知:丨FA丨=a﹣c,丨OF丨=c,丨OA丨=a,
,整理得(a﹣c)( )= ,整理得:a2=2c2
由a2﹣c2=b2=1,解得:c=1,則a= ,
∴a的值
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知:橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為: ,
由題l與x軸不重合,設(shè)l的方程是x=my﹣2,
,整理得(my﹣2)2+2y2﹣2=0,
即(m2+2)y2﹣4my+2=0,
∵直線與橢圓有相異交點(diǎn),
△=16m2﹣8(m2+2)>0,解得m> 或m<﹣ ,
由韋達(dá)定理可知:y1+y2= ,y1y2= ,
由△OPQ面積S= 丨ON丨丨y1﹣y2丨= 丨ON丨 = ,
令t= >0,
則S= = =
當(dāng)且僅當(dāng)t=2,即m=± 時(shí),△OPQ面積的最大,最大值是

【解析】(Ⅰ)由橢圓的性質(zhì)可知:丨FA丨=a﹣c,丨OF丨=c,丨OA丨=a,代入 ,求得a2=2c2 , 由a2﹣c2=b2=1,即可求得a= ;(Ⅱ)由題意可知:設(shè)l的方程是x=my﹣2,代入橢圓方程,由△>0求得m的取值范圍,根據(jù)韋達(dá)定理及三角形的面積公式S= 丨ON丨 = ,令t= >0,則S= = = ,即可求得m的最大值.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)事件A表示“關(guān)于的一元二次方程有實(shí)根”,其中, 為實(shí)常數(shù).

(Ⅰ)若為區(qū)間[0,5]上的整數(shù)值隨機(jī)數(shù), 為區(qū)間[0,2]上的整數(shù)值隨機(jī)數(shù),求事件A發(fā)生的概率;

(Ⅱ)若為區(qū)間[0,5]上的均勻隨機(jī)數(shù), 為區(qū)間[0,2]上的均勻隨機(jī)數(shù),求事件A發(fā)生的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知△ABC中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且 =1.
(1)求角A;
(2)若a=4 ,求b+c的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】現(xiàn)有6個(gè)人排成一排照相,由于甲乙性格不合,所以要求甲乙不相鄰,丙最高,要求丙站在最中間的兩個(gè)位置中的一個(gè)位置上,則不同的站法有( )種.

A. B. C. D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性;

(2)若,當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=alnx+(﹣1)n ,其中n∈N* , a為常數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)n=2,且a>0時(shí),判斷函數(shù)f(x)是否存在極值,若存在,求出極值點(diǎn);若不存在,說明理由;
(Ⅱ)若a=1,對任意的正整數(shù)n,當(dāng)x≥1時(shí),求證:f(x+1)≤x.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】三棱錐P﹣ABC中,△ABC為等邊三角形,PA=PB=PC=2,PA⊥PB,三棱錐P﹣ABC的外接球的表面積為(
A.48π
B.12π
C.4 π
D.32 π

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx+x2﹣ax,a∈R
(1)若f(x)在P(x0 , y0)(x∈[ ))處的切線方程為y=﹣2,求實(shí)數(shù)a的值;
(2)若x1 , x2(x1<x2)是函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn),f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),證明:f′( )<0.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】(1)已知,證明:

(2)已知 ,求證: .

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案