Question

8．萬(wàn)佛湖風(fēng)景區(qū)是中國(guó)首批、安徽省首家的“國(guó)家AAAA級(jí)旅游區(qū)”，近年旅游業(yè)發(fā)展迅猛，景區(qū)現(xiàn)欲申請(qǐng)一筆不超過(guò)五千萬(wàn)元五年期的貸款進(jìn)行景區(qū)服務(wù)升級(jí)，已知投資x（百萬(wàn)元）可創(chuàng)造的就業(yè)崗位w=-$\frac{1}{8}$x²+10x個(gè)，每個(gè)崗位每年可創(chuàng)造利潤(rùn)4萬(wàn)元．（注：此筆貸款年利率為單利2%，即每100萬(wàn)元年利息為2萬(wàn)元，5年利息共10萬(wàn)元）
（1）如想在五年內(nèi)收回投資，求x的取值范圍；
（2）創(chuàng)造的就業(yè)崗位與此次五年期的景區(qū)改造創(chuàng)造的利潤(rùn)能否同時(shí)取得最大值？

Answer 1

分析 （1）通過(guò)貸款年利率可知貸款x百萬(wàn)元5年利息共0.1x百萬(wàn)元，進(jìn)而解不等式5×4w＞x+0.1x、計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過(guò)由（1）結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)可知當(dāng)x=39.78時(shí)此次五年期的景區(qū)改造創(chuàng)造的利潤(rùn)取得最大值，當(dāng)x=40時(shí)就業(yè)崗位達(dá)到最大值，進(jìn)而可得結(jié)論．

解答 解：（1）∵每貸款100萬(wàn)元5年利息共10萬(wàn)元，
∴貸款x百萬(wàn)元5年利息共0.1x百萬(wàn)元，
依題意要想在五年內(nèi)收回投資即5×4w＞x+0.1x，
∴20（-$\frac{1}{8}$x²+10x）＞x+0.1x，
整理得：20x²＜1591.2x，
解得：x＜79.56，
∴x的取值范圍是（0，79.56）；
（2）結(jié)論：創(chuàng)造的就業(yè)崗位與此次五年期的景區(qū)改造創(chuàng)造的利潤(rùn)不能同時(shí)取得最大值．
理由如下：
由（1）可知此次五年期的景區(qū)改造創(chuàng)造的利潤(rùn)y=20（-$\frac{1}{8}$x²+10x）-1.1x=-$\frac{5}{2}$x²+198.9x，
令y′=-5x+198.9=0，解得：x=39.78，
∴當(dāng)x=39.78時(shí)y取得最大值，
令w′=-$\frac{1}{4}$x+10=0，解得：x=40，
即當(dāng)x=40時(shí)就業(yè)崗位達(dá)到最大值，
顯然創(chuàng)造的就業(yè)崗位與此次五年期的景區(qū)改造創(chuàng)造的利潤(rùn)不能同時(shí)取得最大值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)類(lèi)型，考查分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．