Question

20．設(shè)$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$是單位向量，且$\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$，則$（\overrightarrow a-\overrightarrow c）•（\overrightarrow b-\overrightarrow c）$的最小值是（　　）

• A． $1-\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{2}-1$
• C． $1-\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{3}-1$

Answer 1

分析 由條件便可得到$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}）•（\overrightarrow-\overrightarrow{c}）=-|\overrightarrow{a}+\overrightarrow||\overrightarrow{c}|cosθ$，θ表示向量（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）和向量$\overrightarrow{c}$的夾角，而由$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$可得到$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|=\sqrt{2}$，這樣便得到$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}）•（\overrightarrow-\overrightarrow{c}）$=1-$\sqrt{2}$cosθ，這樣即可得出答案．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$是單位向量，且$\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$，∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|=\sqrt{2}$，又|$\overrightarrow{c}$|=1，
∴$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}）•（\overrightarrow-\overrightarrow{c}）=-（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•\overrightarrow{c}+1$=-$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow||\overrightarrow{c}|cos＜\overrightarrow{a}+\overrightarrow，\overrightarrow{c}＞$+1
=$-\sqrt{2}cos＜\overrightarrow{a}+\overrightarrow，\overrightarrow{c}＞+1$；
∴cos$＜\overrightarrow{a}+\overrightarrow，\overrightarrow{c}＞$=1時，$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}）•（\overrightarrow-\overrightarrow{c}）$的最小值為1-$\sqrt{2}$．
故選：A．

點評 考查數(shù)量積的運算及其計算公式，向量垂直的充要條件，向量加法的平行四邊形法則，以及向量夾角的概念及范圍．