Question

對(duì)于函數(shù)f（x），若存在x_o∈R，使f（x_o）=x_o成立，則稱x_o為f（x）的不動(dòng)點(diǎn)．如果函數(shù)f（x）=（b，c∈N^*）有且僅有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)0和2，且f（-2）＜-．
（1）試求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）已知各項(xiàng)不為零的數(shù)列{a_n}滿足4S_n•f（）=1，求證：-＜ln＜-；
（3）設(shè)b_n=-，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求證：T₂₀₀₉-1＜ln2009＜T₂₀₀₈．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)=x，則（1-b）x²+cx+a=0（b≠1），故，f（x）=．由f（-2）=＜-，知-1＜c＜3，由b，c∈N^*，知c=2，b=2，f（x）=（x≠1）．于是f′（x）==．由此能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）由2S_n=a_n-a_n²，知2S_n-1=a_n-1-a_n-1²，兩式相減得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1+1）=0，故a_n=-a_n-1或a_n-a_n-1=-1．待證不等式為＜ln＜．考慮證明不等式＜ln＜，x＞0．由此入手能夠證明-＜ln＜-．
（3）由b_n=，知T_n=1+++…+．在＜ln＜中令n=1，2，3，…2008，并將各式相加能夠證明T₂₀₀₉-1＜ln2009＜T₂₀₀₈．
解答：解：（1）設(shè)=x⇒（1-b）x²+cx+a=0（b≠1）
⇒，∴，∴f（x）=
由f（-2）=＜-⇒-1＜c＜3，又∵b，c∈N^*，∴c=2，b=2，
∴f（x）=（x≠1）…（3分）
于是f′（x）==
由f′（x）＞0得x＜0或x＞2；   由f′（x）＜0得0＜x＜1或1＜x＜2，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，0）和（2，+∞），
單調(diào)減區(qū)間為（0，1）和（1，2）…（4分）
（2）由已知可得2S_n=a_n-a_n²，當(dāng)n≥2時(shí)，2S_n-1=a_n-1-a_n-1²
兩式相減得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1+1）=0，∴a_n=-a_n-1或a_n-a_n-1=-1，
當(dāng)n=1時(shí)，2a₁=a₁-a₁²⇒a₁=-1，若a_n=-a_n-1，則a₂=1這與a_n≠1矛盾
∴a_n-a_n-1=-1，∴a_n=-n                       …（6分）
于是，待證不等式即為＜ln＜．
為此，我們考慮證明不等式＜ln＜，x＞0．
令1==t，x＞0，則t＞1，x=，
再令g（t）=t-lnt，g′（t）=1-，
    由t∈（1，+∞）知g′（t）＞0．
∴當(dāng)t∈（1，+∞）時(shí)，g（t）單調(diào)遞增
∴g（t）＞g（1）=0，
  于是t-1＞lnt，即＞ln，x＞0      ①
令h（t）=lnt-1+，h′（t）=-=，
由t∈（1，+∞）知h′（t）＞0，
∴當(dāng)t∈（1，+∞）時(shí)，h（t）單調(diào)遞增
∴h（t）＞h（1）=0   于是lnt＞1-即ln＞，x＞0  ②
由①、②可知＜ln＜，x＞0                  …（10分）
所以，＜ln＜，即-＜ln＜-       …（11分）
（3）由（2）可知b_n=   則T_n=1+++…+
在＜ln＜中令n=1，2，3，…2008，并將各式相加得
++…+＜ln+ln+…+ln＜1+++…+
即T₂₀₀₉-1＜ln2009＜T₂₀₀₈．                         …（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列和不等式的綜合，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．