Question

函數(shù)f（x）=x³+ax與g（x）=2x²+b的圖象有公共點(diǎn)（1，f（1）），且它們的圖象在該點(diǎn)處的切線相同，記F（x）=f（x）-g（x）．
（1）求F（x）的表達(dá)式，并求F（x）在[0，1]上的值域；
（2）設(shè)t≤-1，函數(shù)G（x）=x³-3t²x-2t，x∈[0，1]，若對(duì)于任意x₁∈[0，1]，總存在x₀∈[0，1]，使得G（x₀）=F（x₁），求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)f（x）=x³+ax與g（x）=2x²+b的圖象在x=1處有相同的切線，建立方程，即可求a，b的值；
（2）求出函數(shù)G（x）的導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的單調(diào)性和值域，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²+a，g′（x）=4x，
由條件知f（1）=g（1）且f′（1）=g′（1）
∴1+a=2+b且3+a=4，
∴a=1，b=0；
則f（x）=x³+x與g（x）=2x²，F(xiàn)（x）=f（x）-g（x）=x³-2x²+x，
由F′（x）=3x²-4x+1=3（x-1）（x-

1

3

）=0，得x=1或x=

1

3

，
則列表如下：

x	0	（0， 1 3 ）	1 3	（ 1 3 ，1）	1
F′（x）		+	0	-
F（x）	0	遞增	極大值 4 27	遞減	0

則函數(shù)的最大值為F（

1

3

）=

4

27

，最小值為F（0）=F（1）=0，
即函數(shù)的值域?yàn)閇0，

4

27

]．
（2）G′（x）=3x²-3t²，
∵x∈[0，1]，t≤-1，
∴G′（x）≤0，即G（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，
則G（x）∈[G（1），G（0）]，
即G（x）∈[1-3t²-2t，-2t]，
以題意可得[0，

4

27

]⊆[1-3t²-2t，-2t]，
即

1-3t2-2t≤0 -2t≥ 4 27

，解得t≤-1，
故實(shí)數(shù)t的取值范圍是（-∞，-1]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的值域的求解，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性，值域和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的計(jì)算能力．