Question

22、對(duì)于函數(shù)f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，則稱x₀為f（x）的不動(dòng)點(diǎn)   已知函數(shù)f（x）=ax²+（b+1）x+（b-1）（a≠0）
（1）若a=1，b=-2時(shí)，求f（x）的不動(dòng)點(diǎn)；
（2）若對(duì)任意實(shí)數(shù)b，函數(shù)f（x）恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）已知中不動(dòng)點(diǎn)的含義就是方程的根，所以只要轉(zhuǎn)化成解方程即可；
（2）函數(shù)f（x）恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，就是說(shuō)方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，利用根的判別式解決．

解答：解：（1）當(dāng)a=1，b=-2時(shí)，f（x）=x²-x-3，
由題意可知x=x²-x-3，得x₁=-1，x₂=3
故當(dāng)a=1，b=-2時(shí)，f（x）的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)為-1，3
（2）∵f（x）=ax²+（b+1）x+（b-1）（a≠0）恒有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，
∴x=ax²+（b+1）x+（b-1），
即ax²+bx+（b-1）=0恒有兩相異實(shí)根
∴△=b²-4ab+4a＞0（b∈R）恒成立
于是△′=（4a）²-16a＜0解得0＜a＜1
故當(dāng)b∈R，f（x）恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)時(shí)，0＜a＜1．

點(diǎn)評(píng)：函數(shù)與方程的思想是最重要的一種數(shù)學(xué)思想，要注意函數(shù)，方程與不等式之間的相互聯(lián)系和轉(zhuǎn)化．