Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

-

1

2x+1

．
（1）證明函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（2）證明函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)；
（3）若f（b-2）+f（2b-2）＞0，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)f（x）的解析式求得它的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f（-x）=-f（x），從而可得函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（2）任意取x₁＜x₂，計(jì)算f（x₁）-f（x₂）＜0，可得函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)．不等式即f（b-2）＞f（2-2b），故有b-2＞2-2b，由此求得實(shí)數(shù)b的取值范圍．

解答：解：（1）證明：由函數(shù)f（x）=

1

2

-

1

2x+1

，可得它的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
且f（-x）=

1

2

-

1

2-x+1

=

1

2

-

2x

1+2x

=

1

2

-（

1+2x-1

1+2x

）=-

1

2

-

1

1+2x

=-f（x），
故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（2）任意取x₁＜x₂，由于f（x₁）-f（x₂）=（

1

2

-

1

2x1+1

）-（

1

2

-

1

2x2+1

）
=

1

2x2+1

-

1

2x1+1

=

2x1-2x2

( 2 x1+1)(2x2+1)

 
由題設(shè)可得2x1＜2x2，（2x1+1）＞0，（2x2+1）＞0，
∴

2x1-2x2

( 2 x1+1)(2x2+1)

＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)．
由（3）f（b-2）+f（2b-2）＞0，可得 f（b-2）＞f（2-2b），
∴b-2＞2-2b，解得 b＞

4

3

，即實(shí)數(shù)b的取值范圍為（

4

3

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性定義以及證明方法，利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性解不等式，屬于中檔題．