Question

已知函數(shù)f（x）=|x-a|+3x，其中a≠0．
（Ⅰ）當a=2時，求不等式f（x）≥3x+2的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集包含{x|x≤-1}，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）當a=2時，不等式即|x-2|≥2，可得 x-2≥2，或 x-2≤-2，由此可得不等式的解集．
（Ⅱ）由不等式f（x）≤0，可得

x≥a 4x-a≤0

①，或

x＜a 2x+a≤0

②分a＞0和a＜0兩種情況，分別求得a的范圍，再取并集，即得所求．

解答： 解：（Ⅰ）當a=2時，不等式f（x）≥3x+2，即|x-2|≥2，可得 x-2≥2，或 x-2≤-2，
故不等式的解集為 {x|x≤0，或x≥4}．
（Ⅱ）由不等式f（x）≤0，可得|x-a|+3x≤0，即

x≥a 4x-a≤0

 ①，或 

x＜a 2x+a≤0

②
若a＞0，解①求得x∈∅，解②求得x≤-

a

2

，故不等式的解集為{x|x≤-

a

2

}．
再根據(jù)不等式的解集包含{x|x≤-1}，∴

a＞0 - a 2 ≥-1

，∴0＜a≤2，即a的范圍是（0，2]．
若a＜0，解①求得a≤x≤

a

4

，解②求得x＜a，故不等式的解集為{x|x≤

a

4

}．
再根據(jù)不等式的解集包含{x|x≤-1}，∴

a＜0 a 4 ≥-1

，∴-4≤a＜0，即a的范圍是[-4，0）．
綜上可得，要求的a的范圍是（0，2]∪[-4，0）．

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．