已知點A(-
2
,0),B(
2
,0)
,P是平面內(nèi)的一個動點,直線PA與PB交于點P,且它們的斜率之積是-
1
2

(Ⅰ)求動點P的軌跡C的方程,并求出曲線C的離心率的值;
(Ⅱ)設(shè)直線l:y=kx+1與曲線C交于M、N兩點,當(dāng)線段MN的中點在直線x+2y=0上時,求直線l的方程.
分析:(Ⅰ)設(shè)出P點坐標,求出PA,PB所在直線的斜率,由直線PA與PB的斜率之積是-
1
2
列式求出動點P的軌跡C的方程,并求出其離心率;
(Ⅱ)設(shè)出M,N的坐標及其這種點的坐標,把M,N的坐標代入曲線方程,結(jié)合其中點在直線x+2y=0上,利用點差法求直線l的斜率.
解答:解:(Ⅰ)設(shè)點P(x,y),∴kPA=
y
x+
2
kPB=
y
x-
2
,
則由已知得:
y
x+
2
y
x-
2
=-
1
2
,
整理得
x2
2
+y2=1
(x≠±
2
)

∴求得的曲線C的方程為
x2
2
+y2=1(x≠±
2
)

a2=2,b2=1,∴c=
2-1
=1
,
∴e=
c
a
=
1
2
=
2
2
;
(Ⅱ)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中點(x0,y0),
x12+2y12=2
x22+2y22=2

①-②得,(
x
2
1
-
x
2
2
)+2(
y
2
1
-
y
2
2
)=0

(x1+x2)+2(y1+y2)•(
y1-y2
x1-x2
)=0
 (x1≠x2),
又x1+x2=2x0,y1+y2=2y0
∴x0+2y0•k=0,
又∵x0+2y0=0,
以上兩式聯(lián)立解得直線l的斜率k=1.
∴直線l的方程為y=x+1.
點評:本題考查了軌跡方程,考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系,訓(xùn)練了“點差法”求直線的斜率,是中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,函數(shù)y=2cos(ωx+θ)(x∈R,0≤θ≤
π
2
)
的圖象與y軸交于點(0,
3
)
,且在該點處切線的斜率為-2.
(1)求θ和ω的值;
(2)已知點A(
π
2
,0)
,點P是該函數(shù)圖象上一點,點Q(x0,y0)是PA的中點,當(dāng)y0=
3
2
x0∈[
π
2
,π]
時,求x0的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•邯鄲一模)在平面直角坐標系中,點P(x,y)為動點,已知點A(
2
,0)
B(-
2
,0)
,直線PA與PB的斜率之積為-
1
2

(I)求動點P軌跡E的方程;
( II)過點F(1,0)的直線l交曲線E于M,N兩點,設(shè)點N關(guān)于x軸的對稱點為Q(M、Q不重合),求證:直線MQ過定點.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知點A(
2
,0)
,動點M,N滿足
OA
+
OM
=2
ON
,其中O是坐標原點,若KAM•K ON=-
1
2

(1)求點M的軌跡E的方程;
(2)若過點H(0,h)(h>1)的兩條直線l1和l2與軌跡E都只有一個共公點,且l1⊥l2,求h的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知點A(– 2,0),B(2,0),動點P滿足:,且.

(1)求動點P的軌跡G的方程;

(2)過點B的直線l與軌跡G交于兩點M、N.試問在x軸上是否存在定點C ,使得 為常數(shù).若存在,求出點C的坐標;若不存在,說明理由.

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