Question

1．已知A，B分別為橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓C上異于A，B的點(diǎn)，且直線PA，PB的斜率之積為-$\frac{5}{9}$，則橢圓C的離心率為$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 由題意可得A（-a，0），B（a，0），設(shè)P（x₀，y₀），由題意可得ab的關(guān)系式，結(jié)合橢圓系數(shù)的關(guān)系和離心率的定義可得．

解答 解：由題意可得A（-a，0），B（a，0），設(shè)P（x₀，y₀），
則由P在橢圓上可得y₀²=$\frac{{a}^{2}-{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}$•b²，①
∵直線AP與BP的斜率之積為-$\frac{5}{9}$，
∴$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}}$=-$\frac{5}{9}$，②
把①代入②化簡(jiǎn)可得$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{5}{9}$，∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{4}{9}$，∴離心率e=$\frac{2}{3}$．
故答案為：$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，涉及橢圓的離心率和直線的斜率公式，屬中檔題．