Question

12．已知函數(shù)f（x）=x²-2acoskπ•lnx（k∈N^*，a∈R，且a＞0）．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若k=2016，關(guān)于x的方程f（x）=2ax有唯一解，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性即可；
（2）利用k=2016將方程化簡，得到函數(shù)g（x）=f（x）-2ax=x²-2axlnx-2ax有唯一的零點(diǎn)，
將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問題，然后利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合$\left\{\begin{array}{l}{g{（x}_{2}）=0}\\{g′{（x}_{2}）=0}\end{array}\right.$，求出x₂與a的值．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x²-2acoskπ•lnx（k∈N^*，a∈R，且a＞0）；
∴x＞0且f′（x）=2x-$\frac{2a}{x}$•coskπ=2x-$\frac{2a}{x}$•（-1）^k；
∴當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)，f′（x）＞0，則f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，f′（x）=2x-$\frac{2a}{x}$=$\frac{2{（x}^{2}-a）}{x}$，
∴當(dāng)x∈（0，$\sqrt{a}$）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)；
當(dāng)x∈（$\sqrt{a}$，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)；
（2）當(dāng)k=2016時(shí)，f（x）=x²-2alnx（k∈N^*），
設(shè)g（x）=f（x）-2ax=x²-2alnx-2ax，（x＞0），
則g′（x）=2x-$\frac{2a}{x}$-2a=$\frac{2{（x}^{2}-ax-a）}{x}$，
若方程f（x）=2ax有唯一解，即g（x）=0有唯一解；
令g′（x）=0，得x²-ax-a=0，
∵a＞0，x＞0，∴x₁=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$（小于0，舍去），x₂=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$，
當(dāng)x∈（0，x₂）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）在（0，x₂）是單調(diào)遞減函數(shù)；
當(dāng)x∈（x₂，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)；
∴x=x₂時(shí)，g′（x₂）=0，g（x）_min=g（x₂）；
∵g（x）=0有唯一解，∴g（x₂）=0；
∴$\left\{\begin{array}{l}{g{（x}_{2}）=0}\\{g′{（x}_{2}）=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{2}}^{2}-2al{nx}_{2}-2{ax}_{2}=0}\\{{{x}_{2}}^{2}-{ax}_{2}-a=0}\end{array}\right.$；
兩式相減得alnx₂+ax₂-a=0，
又∵a＞0，∴2lnx₂+x₂-1=0（*）；
設(shè)函數(shù)h（x）=2lnx+x-1，
∵在x＞0時(shí)，h（x）是增函數(shù)，∴h（x）=0至多有一解，
又∵h(yuǎn)（1）=0，∴方程（*）的解為x₂=1，從而得a=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用問題，也考查了函數(shù)與方程思想、分類討論思想以及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用問題，是較難的題目．