Question

20．已知數(shù)列$\frac{1}{1×4}，\frac{1}{4×7}，\frac{1}{7×10}，…，\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$，…，的前n項(xiàng)和為S_n．
（1）計(jì)算S₁，S₂，S₃，S₄的值，并推測(cè)S_n的公式；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明S_n的公式．

Answer 1

分析 （1）由題意得S₁=a₁，由S₂=a₁+a₂求得S₂，同理求得 S₃，S₄．猜想猜想S_n=$\frac{n}{3n+1}$，n∈N^_*，
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明，檢驗(yàn)n=1時(shí)，猜想成立；假設(shè)S_k=$\frac{k}{3k+1}$，則當(dāng)n=k+1時(shí)，由條件可得當(dāng)n=k+1時(shí)，也成立，從而猜想仍然成立．

解答 解：（1）S₁=$\frac{1}{4}$，S₂=$\frac{2}{7}$，S₃=$\frac{3}{10}$，S₄=$\frac{4}{13}$；  
可以看出，上面表示四個(gè)結(jié)果的分?jǐn)?shù)中，分子與項(xiàng)數(shù)n一致，分母可用項(xiàng)數(shù)n表示為3n+1．
于是推測(cè)S_n=$\frac{n}{3n+1}$，n∈N^_*，
（2）證明：①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=$\frac{1}{4}$，右邊=$\frac{1}{4}$，猜想成立．
②假設(shè)n=k（k∈N^*）時(shí)，猜想成立，即S_k=$\frac{k}{3k+1}$．
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，S_K+1=S_k+$\frac{1}{（3k+1）（3k+4）}$=$\frac{k}{3k+1}$+$\frac{1}{（3k+1）（3k+4）}$=$\frac{1}{3k+1}$（k+$\frac{1}{3k+4}$）=$\frac{1}{3k+1}$•$\frac{3{k}^{2}+4k+1}{3k+4}$=$\frac{1}{3k+1}$•$\frac{（3k+1）（k+1）}{3k+4}$=$\frac{k+1}{3（k+1）+1}$
所以當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想也成立．
根據(jù)①②，可知猜想對(duì)任何n∈N^*時(shí)都成立．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，用歸納法證明數(shù)學(xué)命題時(shí)的基本步驟：①檢驗(yàn)n=1成立②假設(shè)n=k時(shí)成立，由n=k成立推導(dǎo)n=k+1成立，要注意由歸納假設(shè)到檢驗(yàn)n=k+1的遞推．