Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{1-（x-1）^{2}}，0≤x＜2}\\{f（x-2），x≥2}\end{array}\right.$，若函數(shù)g（x）=f（x）-kx有且僅有四個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（$\frac{\sqrt{6}}{12}$，$\frac{\sqrt{2}}{4}$）．

Answer 1

分析 令h（x）=kx，將函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)化為函數(shù)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，作出函數(shù)f（x） 的圖象，從圖象中得到實(shí)數(shù)k的取值范圍即可．

解答 解：令h（x）=kx，
則函數(shù)g（x）=f（x）-kx有且只有四個(gè)零點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為
函數(shù)f（x）與h（x）有且只有四個(gè)交點(diǎn)；
作出函數(shù)f（x） 的圖象如下圖，

當(dāng)與第二半圓相切時(shí)，有3個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，k=$\frac{1}{\sqrt{{3}^{2}-1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
當(dāng)與第三半圓相切時(shí)，有5個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，k=$\frac{1}{\sqrt{{5}^{2}-1}}$=$\frac{\sqrt{6}}{12}$，
則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（$\frac{\sqrt{6}}{12}$，$\frac{\sqrt{2}}{4}$）．
故答案為：（$\frac{\sqrt{6}}{12}$，$\frac{\sqrt{2}}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了方程的解與函數(shù)的零點(diǎn)之間的關(guān)系，同時(shí)考查了學(xué)生的作圖能力及數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題．