Question

12．設(shè)向量$\overrightarrow{a}$=（-sinx，1），$\overrightarrow$=（sinx-cosx，1），其中x∈R，函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$．
（Ⅰ）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，求tanx的值；
（Ⅱ）求f（x）的最小正周期；
（Ш）求f（x）的遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)向量平行的坐標(biāo)關(guān)系即可得到cosx=2sinx，從而得出tanx=$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）根據(jù)向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的坐標(biāo)求$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=-sin²x+sinxcosx+1，然后根據(jù)二倍角的正余弦公式，兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)便可得到f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}sin（2x+\frac{π}{4}）+\frac{1}{2}$，從而得出周期T=π；
（Ⅲ）由正弦函數(shù)y=sinx的減區(qū)間為[2kπ+$\frac{π}{2}$，2kπ$+\frac{3π}{2}$]，k∈Z，解不等式2kπ$+\frac{π}{2}$≤2x$+\frac{π}{4}$$≤2kπ+\frac{3π}{2}$，k∈Z，即可得出f（x）的減區(qū)間．

解答 解：（Ⅰ）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，則：
-sinx-（sinx-cosx）=0；
∴cosx=2sinx；
∴$tanx=\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=-sinx（sinx-cosx）+1$=-sin²x+sinxcosx+1=$-\frac{1-cos2x}{2}+\frac{1}{2}sin2x+1$=$\frac{\sqrt{2}}{2}sin（2x+\frac{π}{4}）+\frac{1}{2}$；
∴f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}sin（2x+\frac{π}{4}）+\frac{1}{2}$；
∴f（x）的最小正周期為π；
（Ⅲ）由$2kπ+\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{3}{2}π$，k∈Z，得：
$kπ+\frac{π}{8}≤x≤kπ+\frac{5π}{8}$；
∴f（x）的遞減區(qū)間為[$kπ+\frac{π}{8}$，$kπ+\frac{5π}{8}$]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 考查平行向量的坐標(biāo)關(guān)系，切化弦公式，數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，以及二倍角的正余弦公式，兩角和的正弦公式，三角函數(shù)周期的概念及計(jì)算公式，正弦函數(shù)的減區(qū)間，復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法．