Question

已知a，b是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=x³+ax，g(x)=x²+bx，f′(x)和g′(x)分別是f(x)和g(x)的導(dǎo)函數(shù)，若f′(x)·g′(x)≥0在區(qū)間I上恒成立，則稱f(x)和g(x)在區(qū)間上單調(diào)性一致，
(1)設(shè)a＞0，若f(x)和g(x)在區(qū)間[-1，+∞)上單調(diào)性一致，求b的取值范圍；
(2)設(shè)a＜0且b≠0，若f(x)和g(x)在以a，b為端點(diǎn)的區(qū)間上單調(diào)性一致，求|a-b|的最大值．

Answer 1

解：f′(x)=3x²+a，g′(x)=2x+b，
(1)由題意知f′(x)g′(x)≥0在[-1，+∞)上恒成立．
因?yàn)閍＞0，故3x²+a＞0，進(jìn)而2x+b≥0，即b≥-2x在區(qū)間[-1，+∞)上恒成立，
所以b≥2，因此b的取值范圍是[2，+∞)。
(2)令f′(x)=0，解得，
若b＞0，由a＜0得0∈(a，b)，
又因?yàn)閒′(0)g′(0)=ab＜0，
所以函數(shù)f(x)和g(x)在(a，b)上不是單調(diào)性一致的，因此b≤0．
現(xiàn)設(shè)b≤0，當(dāng)x∈(-∞，0)時，g′(x)＜0；
當(dāng)x∈(-∞，)時，f′(x)＞0．
因此，當(dāng)時，f′(x)g′(x)＜0．
故由題設(shè)得a≥ 且，從而，
于是，
因此，且當(dāng)a=，b=0時等號成立．
又當(dāng)，b=0時，f′(x)g′(x)=6x(x²-)，
從而當(dāng)x∈時，f′(x)g′(x)＞0，
故函數(shù)f(x)和g(x)在上單調(diào)性一致，因此|a-b|的最大值為。