Question

已知圓C：x²+y²-4y-12=0，點(diǎn)P（4，0），直線l經(jīng)過點(diǎn)P
（1）若直線l與圓C相切，求直線l的方程
（2）若直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=4

3

，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的切線方程,直線與圓相交的性質(zhì)

專題：直線與圓

分析：（1）若直線l與圓C相切，根據(jù)直線和圓相切的等價(jià)條件即可求直線l的方程
（2）根據(jù)弦長(zhǎng)公式即可求直線l的方程．

解答： 解：（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²+（y-2）²=16，圓心C（0，2），半徑R=4，
若直線l與圓C相切，
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為x=4，滿足直線和圓相切，
當(dāng)直線斜率存在，設(shè)斜率為k，
則直線l的方程為y=k（x-4），即kx-y-4k=0，
圓心到直線的距離d=

|-2-4k|

1+k2

=4，
即|1+2k|=2

1+k2

，
平方得1+4k+4k²=4+4k²，
解得k=

3

4

，
此時(shí)直線方程為

3

4

x-y-4×

3

4

=0，即3x-4y-12=0，
綜上直線l的方程為3x-4y-12=0或x=4．
（2）∵直線l被圓截得的弦長(zhǎng)為4

3

，
∴圓心到直線的距離d=

R2-( 4 3 2 )2

 =

16-12

=

4

=2，
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為x=4，滿足直線和圓相切，不滿足相交，
故直線斜率存在，設(shè)斜率為k，
則直線l的方程為y=k（x-4），即kx-y-4k=0，
圓心到直線的距離d=

|-2-4k|

1+k2

=2，平方得1+4k+4k²=1+k²，
即4k+3k²=0，解得k=0或k=-

4

3

，
即直線方程為y=0或4x-3y-16=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，根據(jù)直線和圓相切的等價(jià)條件以及直線和相交的弦長(zhǎng)公式是解決本題的關(guān)鍵．