Question

 

已知三棱柱ABC－A₁B₁C₁的側(cè)棱垂直于底面，，分別是的中點(diǎn)．

   （Ⅰ）證明：平面；

   （II）求二面角M—AN—B的余弦值。      

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解法一：依條件可知AB、AC，AA₁兩兩垂直，如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系則A（0，0，0），B（0，2，0），C(-1,0,0),, ……2分

  （I）證明：是平面ACCA₁的一個(gè)法向量，

且所以   ……5分

又，       ………………6分

   （II）設(shè)是平面AMN的法向量，

因?yàn)?sub>，

由    得

解得平面AMN的一個(gè)法向量   ………………9分

由已知，平面ABC的一個(gè)法向量為   ………………10分

   ………………12分

解法二：（I）證明：設(shè)AC的中點(diǎn)為D，連結(jié)DN，A₁D

∵D，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，∴   ………………2分

∴A₁D//MN   ………4分

   ………………6分

   （II）如圖，設(shè)AB的中點(diǎn)為H，連結(jié)MH，

∴MH//BB₁

∵BB₁⊥底面ABC，

∵BB₁⊥AC，BB₁⊥AB，

∴MH⊥AC，AH⊥AB

∴AB∩AC=A

∴MH⊥底面ABC   ………………7分

在平面ABC內(nèi)，過點(diǎn)H做HG⊥AN，垂足為G

連結(jié)MG，AN⊥HG，AN⊥MH，HG∩MH=H

∴AN⊥平面MHG，則AN⊥MG

∴∠MGH是二面角M—AN—B的平面角   ………………9分

∵M(jìn)H=BB₁=2，

由△AGH∽△BAC，得

所以所以

   ………………12分