Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AB⊥BB₁，AC=BC=BB₁=2，D為AB的中點，且CD⊥DA₁．
（1）求證：BB₁⊥平面ABC；
（2）求直線AC₁與A₁D所成角的余弦值；
（3）求A₁B₁與平面DAC₁所成角的余弦值．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,異面直線及其所成的角,直線與平面所成的角

專題：計算題,證明題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）運用線面垂直的判定和性質，即可得證；
（2）連接BC₁，B₁C交于O點，連接OD，則OD∥AC₁所以，∠A₁DO為異面直線AC₁與A₁D所成角或其補角，在△A₁DO中，運用余弦定理即可得到；
（3）由面面垂直的性質定理，作B₁E⊥A₁D交A₁D于E，則B₁E⊥面A₁CD，則∠B₁A₁E為A₁B₁與平面DCA1所成角，在△A₁DB₁中運用余弦定理即可得到．

解答： （1）證明：∵AC=BC，D為AB的中點，
∴CD⊥AB，又CD⊥DA₁，AB∩A₁D=D
∴CD⊥平面AA₁B₁B，
∴CD⊥BB₁，又BB₁⊥AB，AB∩CD=D
∴BB₁⊥平面ABC．
（2）解：連接BC₁，B₁C交于O點，連接OD，則OD∥AC₁
所以，∠A₁DO為異面直線AC₁與A₁D所成角或其補角，
在△A₁DO中，A₁D=

4+( 2)2

=

6

，A₁O=

4+( 2)2

=

6

，OD=

2

，
cos∠A₁DO=

6+2-6

2× 6 • 2

=

3

6

，
故直線AC₁與A₁D所成角的余弦值

3

6

；
（3）解：∵CD⊥面ABB₁A₁，
∴面A₁CD⊥面ABB₁A₁，
作B₁E⊥A₁D交A₁D于E，則B₁E⊥面A₁CD，
則∠B₁A₁E為A₁B₁與平面DCA1所成角，
在△A₁DB₁中，A₁D=

6

，A₁B₁=2

2

，B₁D=

6

cos∠B₁A₁E=

6+8-6

2 6 •2 2

=

3

3

則A₁B₁與平面DAC₁所成角的余弦值

3

3

．

點評：本題考查線面、面面垂直的判定和性質，考查空間異面直線所成的角和直線與平面所成的角，考查運算能力，屬于中檔題．