Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

x+sinx

x

．
（1）判斷f（x）在區(qū)間（0，π）上的增減性并證明；
（2）設(shè)0＜a＜1，0＜x＜π，求證：（2a-1）sinx+（1-a）sin（1-a）x＞0．

Answer 1

考點(diǎn)：綜合法與分析法(選修）

專題：證明題,綜合法

分析：（1）對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)數(shù)，得f′（x）=

xcosx-sinx

x2

，再討論分子對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，得f′（x）的分子最大值小于0，從而得到f′（x）＜0在區(qū)間（0，π）上恒成立，所以f（x）是區(qū)間（0，π）上的減函數(shù)；
（2）為了證明原不等式，利用（1）中的單調(diào)性，證明出不等式（1-a）sin（1-a）x≥（1-2a+a²）sinx區(qū)間（0，π）上恒成立．結(jié)合（1-2a+a²）sinx≥（1-2a）sinx得（1-a）sin（1-a）x≥（1-2a）sinx，移項(xiàng)整理即得原不等式成立．

解答： 解：（1）∵f（x）=

x+sinx

x

，∴f′（x）=

xcosx-sinx

x2

設(shè)g（x）=xcosx-sinx，x∈（0，π）．則g′（x）=-xsinx＜0
∴g（x）在（0，π）上為減函數(shù) 
 又∵g（0）=0，∴當(dāng)x∈（0，π）時(shí)，g（x）＜0，
∴當(dāng)x∈（0，π）時(shí)，f′（x）=

g(x)

x2

＜0，可得f（x）在區(qū)間（0，π）上是減函數(shù)； …（5分）
（2）當(dāng)0＜a＜1且0＜x＜π時(shí)，原不等式等價(jià)于：（1-a）sin（1-a）x≥（1-2a）sinx．
下面證明一個(gè)更強(qiáng)的不等式：（1-a）sin（1-a）x≥（1-2a+a²）sinx．…①
即sin（1-a）x≥（1-a）sinx．…②
亦即

sin(1-a)x

(1-a)x

≥

sinx

x

由（1）知

sinx

x

在（0，π）上為減函數(shù) 
 又∵（1-a）x≤x，∴

sin(1-a)x

(1-a)x

≥

sinx

x

，得不等式②成立，從而①成立
∵（1-2a+a²）sinx≥（1-2a）sinx．
∴（1-a）sin（1-a）x≥（1-2a）sinx．
綜上所述，得0＜a＜1，0＜x＜π時(shí)，原不等式成立．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出含三角函數(shù)的分式函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)性并證明不等式恒成立，著重考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和不等式恒成立等知識(shí)，屬于中檔題．