Question

14．已知橢圓C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓的上、下焦點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，且$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$的最大值是3，最小值為2
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程
（Ⅱ）若A（0，2），且過(guò)F₂的動(dòng)直線m交橢圓C于B，C，求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過(guò)橢圓定義可知|PF₁|+|PF₂|=2a且a-c≤|PF₁|≤a+c，利用數(shù)量積定義及余弦定理可知y=$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|-a）²+a²-2c²，進(jìn)而可得結(jié)論；
（Ⅱ）通過(guò)（I）可知A（0，2）為橢圓C的上頂點(diǎn)，F(xiàn)₂（0，-1），依題意設(shè)動(dòng)直線m方程為：y=kx-1，并代入橢圓C方程、利用韋達(dá)定理可知x₁+x₂=$\frac{6k}{4+3{k}^{2}}$，x₁x₂=-$\frac{9}{4+3{k}^{2}}$，進(jìn)而|BC|=12•$\frac{1+{k}^{2}}{4+3{k}^{2}}$、點(diǎn)A到直線m的距離d=$\frac{3}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，利用S_△ABC=$\frac{1}{2}$•|BC|•d計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）∵P是橢圓上任一點(diǎn)，
∴|PF₁|+|PF₂|=2a且a-c≤|PF₁|≤a+c，
∴y=$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$
=|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$||$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|cos∠F₁PF₂
=$\frac{1}{2}$（$|\overrightarrow{P{F}_{1}}{|}^{2}$+$|\overrightarrow{P{F}_{2}}{|}^{2}$-4c²）
=$\frac{1}{2}$[$|\overrightarrow{P{F}_{1}}{|}^{2}$+（2a-|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|）²-4c²）
=（|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|-a）²+a²-2c²，
當(dāng)|PF₁|=a時(shí)，y有最小值a²-2c²，
∴a²-2c²=2；
當(dāng)|PF₂|=a-c或a+c時(shí)，y有最大值a²-c²，
∴a²-c²=3，
解得：a²=4，c²=1，
∴b²=a²-c²=3，
∴橢圓C標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）由（I）可知A（0，2）為橢圓C的上頂點(diǎn)，F(xiàn)₂（0，-1），
依題意設(shè)動(dòng)直線m方程為：y=kx-1，并代入橢圓C方程，
整理得：（4+3k²）x²-6kx-9=0，
設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則
x₁+x₂=$\frac{6k}{4+3{k}^{2}}$，x₁x₂=-$\frac{9}{4+3{k}^{2}}$，
∴|BC|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{\frac{6k}{4+3{k}^{2}}）}^{2}-4•（-\frac{9}{4+3{k}^{2}}）}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{12}{4+3{k}^{2}}$•$\sqrt{1+{k}^{2}}$
=12•$\frac{1+{k}^{2}}{4+3{k}^{2}}$，
∵點(diǎn)A到直線m的距離d=$\frac{|0-2-1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{3}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$•|BC|•d
=$\frac{1}{2}$•12•$\frac{1+{k}^{2}}{4+3{k}^{2}}$•$\frac{3}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
=18•$\frac{\sqrt{1+{k}^{2}}}{4+3{k}^{2}}$，
顯然函數(shù)f（x）=$\frac{\sqrt{1+{x}^{2}}}{4+3{x}^{2}}$關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，且f（x）_max=f（0）=$\frac{1}{4}$，
∴△ABC的面積的最大值為：18•$\frac{1}{4}$=$\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道關(guān)于直線與圓錐曲線的綜合題，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．