Question

1．在Rt△ABC中，已知D是斜邊AB上任意一點（如圖①），沿直線CD將△ABC折成直二面角B-CD-A（如圖②）．若折疊后A，B兩點間的距離為d，則下列說法正確的是 （　　）

• A． 當CD為Rt△ABC的中線時，d取得最小值
• B． 當CD為Rt△ABC的角平分線時，d取得最小值
• C． 當CD為Rt△ABC的高線時，d取得最小值
• D． 當D在Rt△ABC的AB邊上移動時，d為定值

Answer 1

分析 過A作CD的垂線AG，過B作CD的延長線的垂線BH，設(shè)BC=a，AC=b，∠ACD=θ，利用兩條異面直線上兩點間的距離轉(zhuǎn)化為含有θ的三角函數(shù)求得最值．

解答 解：如圖，

設(shè)BC=a，AC=b，∠ACD=θ，則$∠BCD=\frac{π}{2}-θ$（0$＜θ＜\frac{π}{2}$），
過A作CD的垂線AG，過B作CD的延長線的垂線BH，
∴AG=bsinθ，BH=acosθ，CG=bcosθ，CH=asinθ，則HG=CH-CG=asinθ-bcosθ，
∴d=|AB|=$\sqrt{A{G}^{2}+B{H}^{2}+H{G}^{2}}$=$\sqrt{^{2}si{n}^{2}θ+{a}^{2}co{s}^{2}θ+（asinθ-bcosθ）^{2}}$
=$\sqrt{^{2}si{n}^{2}θ+{a}^{2}co{s}^{2}θ+{a}^{2}si{n}^{2}θ+^{2}co{s}^{2}θ-absin2θ}$=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}-absin2θ}$．
∴當$θ=\frac{π}{4}$，即當CD為Rt△ABC的角平分線時，d取得最小值．
故選：B．

點評 本題考查平面與平面之間的位置關(guān)系，考查了兩條異面直線上兩點間的距離，運用數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題．