Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₁=2，S₆=22．
（1）求S_n；
（2）若從{a_n}中抽取一個(gè)公比為q的等比數(shù)列{akn}，其中k₁=1，且k₁＜k₂＜…＜k_n＜…，k_n∈N^*．
①當(dāng)q取最小值時(shí)，求{k_n}的通項(xiàng)公式；
②若關(guān)于n（n∈N^*）的不等式6S_n＞k_n+1有解，試求q的值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用a₁=2，S₆=22，求出公差，即可求S_n；
（2）①數(shù)列{a_n}是正項(xiàng)遞增等差數(shù)列，故數(shù)列{akn}的公比q＞1，由k₂=2，3，經(jīng)驗(yàn)證不符合題意，應(yīng)舍去；若k₂=4，則由a₄=4得q=2，此時(shí)akn=2•2^n-1組成等比數(shù)列，可求出k_n；
②由akn=

2kn+4

3

=2•q^n-1，可得k_n=3q^n-1-2，6S_n＞k_n+1有解，可得

2n(n+5)+2

3qn

＞1有解，從而可得結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則
∵a₁=2，S₆=22，
∴6•2+

6•5

2

d=22，
∴d=

2

3

，
∴S_n=

n(n+5)

3

；
（2）①數(shù)列{a_n}是正項(xiàng)遞增等差數(shù)列，故數(shù)列{akn}的公比q＞1，
若k₂=2，則由a2=

8

3

，得q=

4

3

，此時(shí)ak3=2•（

4

3

）²=

32

9

，由

32

9

=

2

3

（n+2）
解得n=

10

3

∉N^*，∴k₂＞2，同理k₂＞3；
若k₂=4，則由a₄=4得q=2，此時(shí)akn=2•2^n-1組成等比數(shù)列，
∴2•2^n-1=

2

3

（m+2），
∴3•2^n-1=m+2，對(duì)任何正整數(shù)n，只要取m=3•2^n-1-2，即akn是數(shù)列{a_n}的第3•2^n-1-2項(xiàng)．最小的公比q=2．
∴kn=3•2n-1-2．
②∵akn=

2kn+4

3

=2•q^n-1，∴k_n=3q^n-1-2，
∵6S_n＞k_n+1有解，
∴

2n(n+5)+2

3qn

＞1有解，
q=2，3，4時(shí)，n=1，都符合題意；
下面證明q≥5時(shí)，

2n(n+5)+2

3qn

＞1無解．
設(shè)b_n=

2n(n+5)+2

3qn

，則b_n+1-b_n=

2[(1-q)n2+(7-5q)n+7-q]

3qn+1

，
∵

5q-7

2-2q

＜0，
∴f（n）=2[（1-q）n²+（7-5q）n+7-q]遞減，
∵f（1）＜0，
∴f（n）＜0恒成立，
∴b_n+1-b_n＜0，
∴b_n≤b₁恒成立，
∵q≥5時(shí)，b₁＜1，
∴q≥5時(shí)，

2n(n+5)+2

3qn

＞1無解，
綜上，q的取值為2，3，4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查數(shù)列與不等式的綜合，屬于難題．