Question

（理科）在平面直角坐標(biāo)系中，F(xiàn)為拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)，M為拋物線C上位于第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，過(guò)M，F(xiàn)，O三點(diǎn)的圓的圓心為Q，點(diǎn)Q到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為．
（1）求拋物線C的方程；
（2）是否存在點(diǎn)M，使得直線MQ與拋物線C相切于點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M；若不存在，說(shuō)明理由．
（3）若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2，直線l：y=kx+與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B，l與圓Q有兩個(gè)不同的交點(diǎn)D、E，用含k的式子表示 AB²+DE²．

Answer 1

解：（1）∵⊙Q過(guò)M、F、O三點(diǎn)，
∴Q一定在線段FO的中垂線上，
∵拋物線x²=2py的焦點(diǎn)F（0，），O（0，0）
∴FO的中垂線為：y=，
設(shè)Q（x_Q，y_Q），得yQ=，
結(jié)合拋物線的定義，得Q到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為-（-）=，解之得p=1
由此可得，拋物線C的方程為x²=2y；
（2）設(shè)存在點(diǎn)M（x₀，），拋物線化成二次函數(shù)：y=x²，
對(duì)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，得y′=x，得切線MQ：y-=x₀（x-x₀），
由（1）知，y_Q=，所以對(duì)MQ方程令y=，得x_Q=
∴Q（，），
結(jié)合|MQ|=|OQ|得
∴
∵M(jìn)為拋物線C上位于第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，
∴存在M（，1），使得直線MQ與拋物線C相切于點(diǎn)M；
（3）當(dāng)x₀=2時(shí)，由（2）的Q（，），⊙Q的半徑為：r=所以⊙Q的方程為（x-）2+（y-）2=．
由，整理得2x²-4kx-1=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由于△=16k²+8＞0，x₁+x₂=2k，x₁x₂=-，
所以|AB|²=（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=（1+k²）（4k²+2）．
直線方程代入圓的方程，整理得（1+k²）x²-x-=0，
設(shè)D，E兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₃，y₃），（x₄，y₄），
由于△＞0，x₃+x₄=，x₃x₄=-．
所以|DE|²=（1+k²）[（x₃+x₄）²-4x₃x₄]=+，
因此|AB|²+|DE|²=（1+k²）（4k²+2）++．
分析：（1）⊙Q過(guò)M、F、O三點(diǎn)，結(jié)合圓的性質(zhì)得Q點(diǎn)一定在線段FO的中垂線上，再根據(jù)Q到拋物線C的準(zhǔn)線的距離，建立方程求得p，從而得到拋物線C的方程；
（2）將拋物線化成二次函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得到切線方程，從而確定Q的坐標(biāo)，利用|QM|=|OQ|，即可求出M的坐標(biāo)；
（3）求出⊙Q的方程，利用直線與拋物線方程聯(lián)立方程組，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韋達(dá)定理，求出|AB|²．同理求出|DE|²，即可得到|AB|²+|DE|²的表達(dá)式．
點(diǎn)評(píng)：本題給出拋物線上兩個(gè)點(diǎn)與它的焦點(diǎn)在同一個(gè)圓上，在已知圓心到準(zhǔn)線距離的情況下求拋物線方程并探索拋物線的切線問(wèn)題，著重考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和直線與拋物線關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．