Question

（理科）在平面直角坐標(biāo)系中，F(xiàn)為拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點，M為拋物線C上位于第一象限內(nèi)的任意一點，過M，F(xiàn)，O三點的圓的圓心為Q，點Q到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為

3

4

．
（1）求拋物線C的方程；
（2）是否存在點M，使得直線MQ與拋物線C相切于點M？若存在，求出點M；若不存在，說明理由．
（3）若點M的橫坐標(biāo)為2，直線l：y=kx+

1

4

與拋物線C有兩個不同的交點A、B，l與圓Q有兩個不同的交點D、E，用含k的式子表示 AB²+DE²．

Answer 1

分析：（1）⊙Q過M、F、O三點，結(jié)合圓的性質(zhì)得Q點一定在線段FO的中垂線上，再根據(jù)Q到拋物線C的準(zhǔn)線的距離，建立方程求得p，從而得到拋物線C的方程；
（2）將拋物線化成二次函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得到切線方程，從而確定Q的坐標(biāo)，利用|QM|=|OQ|，即可求出M的坐標(biāo)；
（3）求出⊙Q的方程，利用直線與拋物線方程聯(lián)立方程組，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韋達定理，求出|AB|²．同理求出|DE|²，即可得到|AB|²+|DE|²的表達式．

解答：解：（1）∵⊙Q過M、F、O三點，
∴Q一定在線段FO的中垂線上，
∵拋物線x²=2py的焦點F（0，

p

2

），O（0，0）
∴FO的中垂線為：y=

p

4

，
設(shè)Q（x_Q，y_Q），得yQ=

p

4

，
結(jié)合拋物線的定義，得Q到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為

p

4

-（-

p

2

）=

3

4

，解之得p=1
由此可得，拋物線C的方程為x²=2y；
（2）設(shè)存在點M（x₀，

x02

2

），拋物線化成二次函數(shù)：y=

1

2

x²，
對函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，得y′=x，得切線MQ：y-

x02

2

=x₀（x-x₀），
由（1）知，y_Q=

1

4

，所以對MQ方程令y=

1

4

，得x_Q=

1

4x0

+

x0

2

∴Q（

1

4x0

+

x0

2

，

1

4

），
結(jié)合|MQ|=|OQ|得(

1

4x0

-

x0

2

)2+(

1

4

-

x02

2

)2=(

1

4x0

+

x0

2

)2+

1

16

∴x0=±

2

∵M為拋物線C上位于第一象限內(nèi)的任意一點，
∴存在M（

2

，1），使得直線MQ與拋物線C相切于點M；
（3）當(dāng)x₀=2時，由（2）的Q（

9

8

，

1

4

），⊙Q的半徑為：r=

85

8

所以⊙Q的方程為（x-

9

8

）2+（y-

1

4

）2=

85

64

．
由

y= 1 2 x2 y=kx+ 1 4

，整理得2x²-4kx-1=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由于△=16k²+8＞0，x₁+x₂=2k，x₁x₂=-

1

2

，
所以|AB|²=（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=（1+k²）（4k²+2）．
直線方程代入圓的方程，整理得（1+k²）x²-

9

4

x-

1

16

=0，
設(shè)D，E兩點的坐標(biāo)分別為（x₃，y₃），（x₄，y₄），
由于△＞0，x₃+x₄=

9

4(1+k2)

，x₃x₄=-

1

16(1+k2)

．
所以|DE|²=（1+k²）[（x₃+x₄）²-4x₃x₄]=

81

16(1+k2)

+

1

4

，
因此|AB|²+|DE|²=（1+k²）（4k²+2）+

81

16(1+k2)

+

1

4

．

點評：本題給出拋物線上兩個點與它的焦點在同一個圓上，在已知圓心到準(zhǔn)線距離的情況下求拋物線方程并探索拋物線的切線問題，著重考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單幾何性質(zhì)和直線與拋物線關(guān)系等知識，屬于中檔題．