Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x3-

(k+1)

2

x2，g(x)=

1

3

-kx且f（x）在區(qū)間（2，+∞）上為增函數(shù)．
（1）求k的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，因?yàn)閒（x）在（2，+∞）上為增函數(shù)，所以得到導(dǎo)函數(shù)在（2，+∞）上恒大于等于0，列出k與x的不等式，由x的范圍即可求出k的取值范圍；
（2）把f（x）和g（x）的解析式代入h（x）中確定出h（x）的解析式，求出h（x）的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)等于0求出此時(shí)x的值，然后根據(jù)（1）求出的k的范圍，分區(qū)間討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性求出函數(shù)的極小值和極大值，判斷得到極小值大于0，所以要使函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即要極大值也要大于0，列出關(guān)于k的不等式，求出不等式的解集即可得到實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答：解：（1）由題意f′（x）=x²-（k+1）x，
因?yàn)閒（x）在區(qū)間（2，+∞）上為增函數(shù)，
所以f′（x）=x²-（k+1）x≥0在（2，+∞）上恒成立，即k+1≤x恒成立，
又x＞2，所以k+1≤2，故k≤1，
當(dāng)k=1時(shí)，f′（x）=x²-2x=（x-1）²-1在x∈（2，+∞）恒大于0，故f（x）在（2，+∞）上單增，符合題意．
所以k的取值范圍為k≤1．
（2）設(shè)h(x)=f(x)-g(x)=

x3

3

-

(k+1)

2

x2+kx-

1

3

，
h′（x）=x²-（k+1）x+k=（x-k）（x-1），
令h′（x）=0得x=k或x=1，由（1）知k≤1，
①當(dāng)k=1時(shí)，h′（x）=（x-1）²≥0，h（x）在R上遞增，顯然不合題意；
②當(dāng)k＜1時(shí)，h（x），h′（x）隨x的變化情況如下表：
由于

k-1

2

＞0，欲使f（x）與g（x）圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，
即方程f（x）=g（x），也即h（x）=0有三個(gè)不同的實(shí)根．
故需-

k3

6

+

k2

2

-

1

3

＞0即（k-1）（k²-2k-2）＜0，
所以

k＜1 k2-2k-2＞0

，解得k＜1-

3

．
綜上，所求k的范圍為k＜1-

3

．

點(diǎn)評：此題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，是一道綜合題．