Question

已知函數(shù)f（x）=x+

a

x

，（x＞0，a＞0）．
（1）當(dāng)a=4時，求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）若函數(shù)f（x）＞-x+4，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）a=4時，f（x）=x+

4

x

≥2

x• 4 x

=4，求出f（x）的最小值；
（2）由f（x）＞-x+4，得出a＞-2x²+4x；求出y=-2x²+4x的最大值，即得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)a=4時，f（x）=x+

4

x

，
∵x＞0，
∴f（x）=x+

4

x

≥2

x• 4 x

=4，
當(dāng)且僅當(dāng)x=2時“=”成立；
∴f（x）的最小值為4；
（2）∵f（x）＞-x+4，
即x+

a

x

＞-x+4；
又x＞0，
∴a＞-2x²+4x；
令y=-2x²+4x（x＞0），
∴y=-2（x-1）²+2，
當(dāng)x=1時，y取得最大值2，
∴a＞2；
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a＞2}．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用問題，解題時應(yīng)根據(jù)函數(shù)解析式的特點(diǎn)，利用基本不等式求函數(shù)的最值，利用配方法求函數(shù)的最值，是基礎(chǔ)題．