Question

7．已知角θ的頂點與原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y=-2x上，求3sinθ+cosθ的值．

Answer 1

分析 由題意可得，θ的終邊在第二象限，或角θ的終邊在第四象限．利用任意角的三角函數(shù)的定義，分類討論，求得sinθ和cosθ的值，可得3sinθ+cosθ的值．

解答 解：根據(jù)角θ的終邊在直線y=-2x上，可得角θ的終邊在第二象限，或角θ的終邊在第四象限．
當角θ的終邊在第二象限時，在它的終邊上任意取一點P（1，-2），則x=-1，y=2，r=|OP|=$\sqrt{5}$，
此時，cosθ=$\frac{x}{r}$=-$\frac{1}{\sqrt{5}}$=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sinθ=$\frac{y}{r}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，3sinθ+cosθ=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$-$\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\sqrt{5}$．
當角θ的終邊在第四象限時，在它的終邊上任意取一點P（-1，2），則x=1，y=-2，r=|OP|=$\sqrt{5}$，
此時，cosθ=$\frac{x}{r}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sinθ=$\frac{y}{r}$=-$\frac{2}{\sqrt{5}}$=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，3sinθ+cosθ=-$\frac{6\sqrt{5}}{5}$+$\frac{\sqrt{5}}{5}$=-$\sqrt{5}$．
綜上可得，3sinθ+cosθ=±$\sqrt{5}$．

點評 本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．