Question

16．△ABC的三邊a，b，c滿(mǎn)足關(guān)系c⁴-2（a²+b²）c²+a⁴+a²b²+b⁴=0，角C為銳角．
（1）求∠C的度數(shù)；
（2）求函數(shù)式sinA+sinB及sinAcosB的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把已知c⁴-2（a²+b²）c²+a⁴+a²b²+b⁴=0等式通過(guò)完全平方式、拆分項(xiàng)轉(zhuǎn)化為（c²-a²-b²-ab）（c²-a²-b²+ab）=0．分兩種情況，根據(jù)余弦定理即可求得∠C的度數(shù)．
（2）由A的度數(shù)得到B+C的度數(shù)，用B表示出C，代入sinB+sinC中，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由正弦函數(shù)的值域確定出范圍即可，同理可求sinAcosB的取值范圍．

解答 解：（1）∵c⁴-2（a²+b²）c²+a⁴+a²b²+b⁴=0，
⇒c⁴-2（a²+b²）c²+（a²+b²）²-a²b²=0，
⇒[c²-（a²+b²）]²-（ab）²=0，
⇒（c²-a²-b²-ab）（c²-a²-b²+ab）=0，
∴c²-a²-b²-ab=0或c²-a²-b²+ab=0，
當(dāng)c²-a²-b²+ab=0時(shí)，cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，∴∠C=$\frac{π}{3}$，
當(dāng)c²-a²-b²-ab=0時(shí)，cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，∴∠C=$\frac{2π}{3}$（舍去），
綜上可得：∠C=$\frac{π}{3}$．
（2）∵C=$\frac{π}{3}$，
∴B+A=$\frac{2π}{3}$，即A=$\frac{2π}{3}$-B，
∴sinB+sinA=sinB+sin（$\frac{2π}{3}$-B）=sinB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB+$\frac{1}{2}$sinB=$\frac{3}{2}$sinB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB=$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinB+$\frac{1}{2}$cosB）=$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$），
∵0＜B＜$\frac{2π}{3}$，∴$\frac{π}{6}$＜B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜sin（B+$\frac{π}{6}$）≤1，即$\frac{3}{2}$＜$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$）≤$\sqrt{3}$，
則sinB+sinA的范圍為（$\frac{3}{2}$，$\sqrt{3}$]．
∵sinAcosB=sin（$\frac{2π}{3}$-B）cosB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos²B+$\frac{1}{2}$sinBcosB=$\frac{\sqrt{3}}{4}cos2B+\frac{1}{4}sin2B+\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{1}{2}$sin（2B+$\frac{π}{3}$）$+\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∵0＜B＜$\frac{2π}{3}$，∴$\frac{π}{3}$＜2B+$\frac{π}{3}$＜$\frac{5π}{3}$，
∴-1＜sin（2B+$\frac{π}{3}$）≤1，即$\frac{\sqrt{3}-2}{4}$＜$\frac{1}{2}$sin（2B+$\frac{π}{3}$）$+\frac{\sqrt{3}}{4}$≤$\frac{\sqrt{3}+2}{4}$，
則sinB+sinA的范圍為[$\frac{\sqrt{3}-2}{4}$，$\frac{\sqrt{3}+2}{4}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了余弦定理，以及因式分解的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是將原式轉(zhuǎn)化為（c²-a²-b²-ab）（c²-a²-b²+ab）=0，再利用余弦定理求得∠C的度數(shù)．